【正文】 從3個(gè)點(diǎn)的組合扣除3點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面和六點(diǎn)共面的情形，征詢題（2）首先要對(duì)凸棱錐的類型做出推斷，然后分類統(tǒng)計(jì)．解析：（1）四面體的每一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)只能確定同一個(gè)平面，六個(gè)中點(diǎn)中又有3對(duì)互相平行的連線，每一條棱上的三個(gè)點(diǎn)和棱外的點(diǎn)只能確定一個(gè)平面，由間接解法，共能確定不同平面?zhèn)€；（2）依四面體的性質(zhì)，假設(shè)從 10 個(gè)點(diǎn)中取頂點(diǎn)作棱錐，只能是三棱錐和四棱錐．每一組不共面的 4 點(diǎn)確定一個(gè)三棱錐，每一無三點(diǎn)共線的共面 4 點(diǎn)與該平面外一點(diǎn)確定一個(gè)四棱錐，因而有個(gè)三棱錐，即不考慮限制后，減去4個(gè)面上4點(diǎn)共面虛構(gòu)的、6條棱上三點(diǎn)共線虛構(gòu)的和3對(duì)平行中位線4點(diǎn)共面虛構(gòu)的．又每一面上6點(diǎn)，僅確定6個(gè)不同凸四邊形，即，再以不在該面上的另外4點(diǎn)之一為第5個(gè)頂點(diǎn)．可做成四棱錐，因而共有個(gè)，又每對(duì)平行的中位線段為四邊形二邊可確定一個(gè)底面四邊形，另取其余6點(diǎn)之一為第5個(gè)頂點(diǎn)，可做四棱錐，因而共有個(gè)，即共有不同四棱錐個(gè)。解法一：第一步，在四個(gè)位置中任選兩個(gè)作為a、b的位置，因a在b前，順序一定，故是組合，方法應(yīng)有種，第二步，在余下的二個(gè)位置由除a、b外的另四個(gè)元從來排，由于有位種，由乘法原理得排法應(yīng)有種．種，如今余種． 種． 置順序的要求，故是陳列征詢題，排法為解法二： 第一步，從c、d、e、f 中任選兩個(gè)元從來，選法為第二步，把選出的二個(gè)元素排在四個(gè)位置上的任意兩個(gè)上，排法為下的兩個(gè)位置即是a在前b在后的位里，只有一種選法，由乘法原理得：解法三：第一步，從c、d、e、f 中選出兩個(gè)元從來，選法為種．第二步，將a、b與第一步選出的兩個(gè)元素共四個(gè)元素排在四個(gè)不同的位置上，共有種排法，又 a 應(yīng)在 b 前，應(yīng)除以 2，故得排法為種．點(diǎn)評(píng)：選擇方法不同，考慮方式就不一樣，但要留意處理征詢題的合理性．例7. 7個(gè)人到7個(gè)地點(diǎn)去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，共有多少種旅游方案？解析：此題可用排除法，7個(gè)人赴7個(gè)地點(diǎn)共有種可能．（1）假設(shè)甲、乙、丙、丁4人同時(shí)都去各自不能去的地點(diǎn)旅游，而其余的人能夠去余下的地點(diǎn)旅游的不同選法有種．種，而4人中剩種，因而共有（2）假設(shè)甲、乙、丙、丁中有3人同時(shí)去各自不能去的地點(diǎn)旅游，有下1人旅游的地點(diǎn)是72種． ，都選完后，再考慮無條件的3人的旅游方法是（3）假設(shè)甲、乙、丙、丁4人中有2人同時(shí)去各自不能去的地點(diǎn)旅游，有5個(gè)人分赴5個(gè)不同地點(diǎn)的方案有種，余下的種，但是其中又包括了有條件的四人中的兩人（不妨種，和這兩人中有一人去了本人不能去的地種．種方案，而余設(shè)甲、乙兩人）同時(shí)去各自不能去的地點(diǎn)共方共種，因而共有（4）假設(shè)甲、乙、丙、丁4人中有1人去了本人不能去的地點(diǎn)旅游，有下的六個(gè)人的旅游方案仍與（3）方法一致，共有種。（法二）（間接法）：任取三張卡片能夠組成不同三位數(shù)（個(gè)），其中0在百位的有（個(gè)），這是不合題意的，故共有不同三位數(shù)：480－48＝432（個(gè)）。（個(gè)） 張都有正面或反面兩種可能，故如今可得不同的三位數(shù)有（2）取1不取0，同上分析可得不同的三位數(shù)（3）0和1都不取，有不同的三位數(shù)（個(gè)）。（2）教練員能夠分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出11人組成上場小組，共有第2步，從選出的11人中選出1名守門員，共有因而教練員做這件事情的方法數(shù)有＝12376種選法； ＝12376 種選法． （種）．例4. 從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種？分析：要和為偶數(shù)，三數(shù)必須全為偶數(shù)或一偶兩奇，然后將和小于10的那些取法排除掉即得．解析：從這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)不同的偶數(shù)取法有種；取出1個(gè)偶數(shù)和2個(gè)不同的奇數(shù)的取法有種．從這10個(gè)偶數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使其和為小于 10 的偶數(shù)，有如下9種不同的取法：（0，1，3），（0，l，5），（0，2，4），（1，2，3），（0，l，7），（0，2，6），（0，3，5），（1，2，5），（1，3，4）。（3）解法1：從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和2件次品兩種情況．在第（2）小題中已求得其中1件是次品的抽法有種，因而按照分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有（種）。（1）“十六字”方針是解陳列組合題的根本規(guī)律，即分類相加、分步相乘、有序陳列、無序組合．（2）“十二”個(gè)技巧是速解陳列組合題的捷徑．即①相鄰征詢題捆綁法；②不相鄰征詢題插空法；③多排征詢題單排法；④定序征詢題倍縮法；⑤定位征詢題優(yōu)先法；⑥有序分配征詢題分步法；⑦多元征詢題分類法；⑧穿插征詢題集合法；⑨至少（或至多）征詢題的間接法；⑩選排征詢題先取后排法；⑧部分與整體征詢題排除法；⑩復(fù)雜征詢題轉(zhuǎn)化法．6. 在解有限制條件的組合應(yīng)用題時(shí)，要正確理解標(biāo)題中出現(xiàn)的“至少”“至多”“全是”“有且僅有”“都不是”等詞語的含義，使其等價(jià)轉(zhuǎn)化，才能正確地分類或用間接法求解．有時(shí)還要辯證地對(duì)待“元素”和“位置”，事實(shí)上，元素和位置是解題者視詳細(xì)情況而定的，是人為的，有時(shí)用逆選的方法，用位置去選元素反而會(huì)更容易處理，方法二用的是“插板法”，要留意與“插空法”的區(qū)別，深化理解“插板法”的思想，能快速、簡捷地處理一部分標(biāo)題．【典型例題】例1. 為了參加的元旦文藝匯演，某班決定從愛好唱歌的4名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選派4名參加小合唱節(jié)目，假設(shè)要求男女同學(xué)至少各選派1名，那么不同的選派方法有多少種？分析：此題主要調(diào)查組合數(shù)公式、分類討論的思想方法以及邏輯推理才能、分析征詢題的才能．可按選派的男同學(xué)的個(gè)數(shù)進(jìn)展分類，或用間接法求解． 解法一：按選派的男同學(xué)的人數(shù)分三類： ①選派一名男同學(xué)，三名女同學(xué)，有 ②選派兩名男同學(xué)，兩名女同學(xué)，有種方法； 種方法； ③選派三名男同學(xué)，一名女同學(xué)，有種方法；由分類計(jì)數(shù)原理，共有不同的選派方法 40＋60＋20＝120 種．解法二：在這九名同學(xué)中任選四名，有種方法；四人都是女同學(xué)的有－5＝120種． 種方法．其中四人都是男同學(xué)的有種方法，因而符合要求的選派方法有126－1留意：易列出錯(cuò)式，即先男女各選1人，再從余下7人中選2人，造成重復(fù)． 點(diǎn)評(píng)：有限制條件的組合應(yīng)用題的限制條件主要表如今被選出的元素“含”或“不含”某些元素，或是“至少”“至多”等類型的組合征詢題，關(guān)于這類組合應(yīng)用題解題的總體思路為：（1）用直截了當(dāng)法一般是從整體分類，然后再部分分步，關(guān)于較復(fù)雜的從假設(shè)干個(gè)集合里選元素的征詢題，首先應(yīng)以其中一個(gè)集合為基準(zhǔn)進(jìn)展分類（因而，為了使類別盡量少，這個(gè)集合里的元素較少為好），分類時(shí)要做到不重不漏，也確實(shí)是各類的并集是全集，任意兩類的交集為空集，在合理正確分類的前提下，在每一類中，按照標(biāo)題中的要求進(jìn)展分步，分步要做到步步連續(xù)，各步之間互相獨(dú)立．（2）用間接法當(dāng)正面求解較為困難時(shí)，也可采納正難那么反的思想用“間接法”求解，但要留意找準(zhǔn)對(duì)立面．本例的一個(gè)常見錯(cuò)誤解法是：先從4名男同學(xué)中選出1名，有名女同學(xué)中選出1名，有種選法．從5種選種選法，再在剩下的7名同學(xué)中選出2名，有法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有＝420種選派方法：這種看似不錯(cuò)的解法產(chǎn)生重復(fù)（由于分步計(jì)數(shù)是有順序的），防止產(chǎn)生重復(fù)的最