【正文】 利用向量求空間角 ⑴ 求異面直線所成的角 已知 ,ab為兩異面直線， A， C 與 B， D分別是 ,ab上的任意兩點， ,ab所成的角為 ? ， 則 cos .AC BDAC BD??? ⑵ 求直線和平面所成的角 ① 定義： 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角 奎屯王新敞 新疆 ②求法： 設(shè)直線 l 的方向向量為 a ，平面 ? 的法向量為 u ，直線與平面所成的角為 ? ， a 與 u 的夾角為 ? ， 則 ? 為 ? 的余角或 ? 的補角 的余角 .即有： c o ss .in auau?? ??? ⑶ 求二面角 ① 定義： 平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面 奎屯王新敞 新疆 二面角的平面角是指在二面角 ?? ??l 的棱上任取一點 O ，分別在兩個半平面內(nèi)作射線lBOlAO ?? , ，則 AOB? 為二面角 ?? ??l 的平面角 . 如圖： 。 ⑵ 線面垂直 ①（法一）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面 ? 的法向量是 u ，則要 證明 l ?? ，只需證明 a ∥ u ，即 au?? . ②（法二）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面 ? 內(nèi)的兩個相交向量分別為 mn、 ，若 0 ,.0am lan ?? ??? ?????? 則 即：直線與平面垂直 直線的方向向量與平面的法向量共線 直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。 ⑵ 線面平行 ①（法一）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面 ? 的法向量是 u ，則要證明 l ∥ ? ，只需證明 au? ，即 0au?? . 即：直線與平面平行 直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外 ②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可 . ⑶ 面面平行 若平面 ? 的法向量為 u ，平面 ? 的法向量為 v ，要證 ? ∥ ? ，只需證 u ∥ v ，即證 uv?? . 即：兩平面平行或重合 兩平面的法向量共線。 、平面幾何中的向量方法 167。 、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 ?cosbaba ?? . a 在 b 方向上的投影為： ?cosa . 22 aa ? . 2aa? . 0???? baba . 167。 、平面向量的坐 標(biāo)運算 設(shè) ? ? ? ?2211 , yxbyxa ?? ，則： ⑴ ? ?2121 , yyxxba ???? ， ⑵ ? ?2121 , yyxxba ???? ， ⑶ ? ?11, yxa ??? ? ， ⑷ 1221// yxyxba ?? . 3 設(shè) ? ? ? ?2211 , yxByxA ，則： ? ?1212 , yyxxAB ??? . 167。 、平面向量基本定理 平面向量基本定理 ：如果 21,ee 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量 a ，有且只有一對實數(shù) 21,?? ，使 2211 eea ?? ?? . 167。 、向量減法運算及其幾何意義 與 a 長度相等方向相反的向量叫做 a 的 相反向量 . 三角形減法法則 和 平行四邊形減法法則 . 167。 、相等向量與共線向量 長度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 . 167。 、向量的物理背景與概念 了解四種常見向量： 力、位移、速度、加速度 . 既有大小又有方向的量叫做 向量 . 167。 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 ??? cossin22sin ? ， 變形 ： 12sin co s sin 2? ? ?? . ??? 22 s inc o s2c o s ?? 1cos2 2 ?? ? ?2sin21?? . 變形如下： 2 升冪 公式 ： 221 c o s 2 2 c o s1 c o s 2 2 sin??? ???????? 降冪 公式 ： 221c o s (1 c o s 2 )21s in (1 c o s 2 )2??????????? ??? 2tan1 tan22tan ??. sin 2 1 c o s 2ta n 1 c o s 2 sin 2??? ???? 167。的三角函數(shù)值： ? ?sin ?cos ?tan 12? 426? 426? 32? 167。 、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 要求熟悉課本例題 . 第三章、三角恒等變換 167。 、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 記住正切函數(shù)的圖象：y = t a n x3 ?2??23 ?2? ?2oyx 記住余切函數(shù)的圖象： y = co tx3 ?2??22 ?? ?2oyx能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)： 定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性 . 周期函數(shù)定義 ： 對于函數(shù) ??xf ，如果存在一個非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有? ? ? ?xfTxf ?? ，那么函數(shù) ??xf 就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T叫做這個函數(shù)的周期 . 圖表歸納： 正弦、余弦、正切函數(shù)的 圖像及其 性質(zhì) xy sin? xy cos? xy tan? 圖象 定義域 R R },2|{ Zkkxx ??? ?? 值域 [1,1] [1,1] R 最值 m a xm in2 , 122 , 12x k k Z yx k k Z y????? ? ? ?? ? ? ? ?時 ，時 ， m a xm in2 , 12 , 1x k k Z yx k k Z y???? ? ?? ? ? ? ?時 ， 時 ， 無 周期 性 ?2?T ?2?T ??T 奇偶 性 奇 偶 奇 單調(diào)性 Zk? 在 [2 , 2 ]22kk??????上單調(diào)遞增 在 3[2 , 2 ]22kk??????上單調(diào)遞減 在 [2 ,2 ]kk? ? ?? 上單調(diào)遞增 在 [2 ,2 ]kk? ? ?? 上單調(diào)遞減 在 ( , )22kk??????上單調(diào)遞增 對稱性 Zk? 對稱軸方程：2xk???? 對稱中心 ( ,0)k? 對稱軸方程： xk?? 對稱中心 ( ,0)2k? ?? 無對稱軸 對稱中心 ,0)(2k? 1 167。 、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 （ 概括為 “ 奇變偶不變，符號看象限 ” Zk? ） 誘導(dǎo)公式一 ： ? ?? ?? ? .ta n2ta n ,c o s2c o s,sin2sin???????????????kkk （其中： Zk? ） 誘導(dǎo)公式二 ： ? ?? ?? ? .tantan ,co sco s,sinsin????????????????? 誘導(dǎo)公式三 ： ? ?? ?? ? .tantan ,coscos,sinsin?????????????? 誘導(dǎo)公式四 ： ? ?? ?? ? .tantan ,co sco s,sinsin????????????????? 誘導(dǎo)公式五 ： .sin2cos,cos2sin????????????? ???????? ? 誘導(dǎo)公式六 ： .sin2c os,c os2sin?????????????? ???????? ? 167。 270等 的三角函數(shù)值 . ? 0 6? 4? 3? 2? 23? 34? ? 32? 2? sin? cos? tan? 167。 90176。 45176。 正切線： AT 特殊角 0176。 、任意角的三角函數(shù) 設(shè) ? 是一個任意角，它的終邊與 單位圓 交于 點? ?yxP , ，那么： xyxy ??? ??? t a n,c os,s in 設(shè)點 ? ?,A x y 為角 ? 終邊上任意一點，那么：（設(shè)22r x y??） sin yr?? ， cos xr?? ， tan yx?? ， cot xy?? ?sin ， ?cos ， ?tan 在四個象限的符號和三角