【正文】 二次函數(shù)與一元二次方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) : 體會二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；掌握用圖象法求方程的近似根；理解二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，及何時方程有兩個不等的實根，兩個相等的實根和沒有實根；理解一元二次方 程的根就是二次函數(shù) y=h（ h是實數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 學(xué)習(xí)重點(diǎn) : 本節(jié)重點(diǎn)把握二次函數(shù)圖象與 x軸（或 y=h）交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系．掌握此點(diǎn)，關(guān)鍵是理解二次函數(shù) y=ax2＋ bx＋ c圖象與 x軸交點(diǎn)，即 y=0，即 ax2＋ bx＋ c=0，從而轉(zhuǎn)化為方程的根，再應(yīng)用根的判別式，求根公式判斷，求解即可，二次函數(shù)圖象與 x軸的交點(diǎn)是二次函數(shù)的一個重要內(nèi)容，在其考查中也有重要的地位． 學(xué)習(xí)難點(diǎn) : 應(yīng)用一元二次方程根的判別式，及求根公式，來對二次函數(shù)及其圖象進(jìn)行進(jìn)一步的理解．此點(diǎn)一定要結(jié)合二次函數(shù)的圖象加以記憶． 學(xué)習(xí)方法 : 討論探索法。 最大面積是多少 學(xué)習(xí)目標(biāo) : 掌握長方形和窗戶透光最大面積問題，體會數(shù)學(xué)的模型思想和數(shù)學(xué)應(yīng)用價值．學(xué)會分析和表示不同背景下實際問題中的變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實際問題． 學(xué)習(xí)重點(diǎn) : 61 本節(jié)的重點(diǎn)是應(yīng)用二次函數(shù)解決圖形有關(guān)的最值問題，這是本書惟一的一種類型，也是二次函數(shù) 綜合題目中常見的一種類型．在二次函數(shù)的應(yīng)用中占有重要的地位，是經(jīng)?？疾榈念}型，根據(jù)圖形中的線段之間的關(guān)系，與二次函數(shù)結(jié)合，可解決此類問題． 學(xué)習(xí)難點(diǎn) : 由圖中找到二次函數(shù)表達(dá)式是本節(jié)的難點(diǎn)，它常用的有三角形相似，對應(yīng)線段成比例，面積公式等，應(yīng)用這些等式往往可以找到二次函數(shù)的表達(dá)式． 學(xué)習(xí)方法 : 教師指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法。 何時獲得最大利潤 學(xué)習(xí)目標(biāo) : 體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型．了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，掌握實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出實際 問題的最大值、最小值． 學(xué)習(xí)重點(diǎn) : 56 本節(jié)重點(diǎn)是應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題中的最值．應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題，要能正確分析和把握實際問題的數(shù)量關(guān)系，從而得到函數(shù)關(guān)系，再求最值．實際問題的最值，不僅可以幫助我們解決一些實際問題，也是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型． 學(xué)習(xí)難點(diǎn) : 本節(jié)難點(diǎn)在于能正確理解題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系．這就需要同學(xué)們在平時解答此類問題時，在平時生活中注意觀察和積累，使自己具備豐富的生活和數(shù)學(xué)知識才會正確分析，正確解題． 學(xué)習(xí)方法 : 在教師的引導(dǎo)下自主學(xué)習(xí)。 用三種方式表示二次函數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo) : 經(jīng)歷三種方式表示變量之間二次函數(shù)關(guān)系的過程，體會三種方式之間的聯(lián)系和各自不同點(diǎn)；掌握變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，解決二次函數(shù)所表示的問題；掌握根據(jù)二次函數(shù)不同的表達(dá)方式，從不同的側(cè)面對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究． 學(xué)習(xí)重點(diǎn) : 能夠根據(jù)二次函數(shù)的不同表示方式，從不同的側(cè)面對函數(shù)進(jìn)行研究．函數(shù)的綜合題目，往往是三種方式的綜合應(yīng)用，由三種不同方式，都能把握函數(shù)性質(zhì)，才會正確解題． 學(xué)習(xí)難點(diǎn) : 用三種方 式表示二次函數(shù)的實際問題時，忽略自變量的取值范圍是常見的錯誤． 學(xué)習(xí)方法 : 討論式學(xué)習(xí)法。 AB=10， BC=8，點(diǎn) D在 BC上運(yùn)動（不運(yùn)動至 B、 C），DE∥ CA，交 AB于 E．設(shè) BD=x，△ ADE的面積為 y． （ 1）求 y關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式及自變量 x的取值范圍； （ 2）△ ADE的面積何時最大，最大面積是多少？ （ 3）求當(dāng) tan∠ ECA=4時，△ ADE的面積． 17．已知：如圖，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90176。線段 BC=2cm，動點(diǎn) P、 Q分別從 B、 C同時出發(fā)， P 以每秒 1cm 的速度，沿由 B向 C 的方向運(yùn)動； Q以每秒 2cm 的速度，沿由 C向 D的方向運(yùn)動．設(shè) P、 Q 運(yùn)動的時間為 t秒，當(dāng) t＞ 2時， PA交 CD于 E．（ 1）用含 t的代數(shù)式分別表示 CE和 QE的長；（ 2） 45 求△ APQ的面積 S與 t 的函數(shù)表達(dá)式；（ 3）當(dāng) QE恰好平分△ APQ 的面積時， QE 的長是多少厘米？ 【例 13】 如圖所示，有一邊長為 5cm的正方形 ABCD和等腰三角形 PQR， PQ=PR=5cm， PR=8cm，點(diǎn) B、 C、 Q、 R 在同一直線ι上．當(dāng) CQ 兩點(diǎn)重合時，等腰△ PQR 以 1cm/秒的速度沿直線ι按箭頭所示方向開始勻速運(yùn)動， t秒后，正方形 ABCD與等腰△ PQR重合部分的面積為 Scm2．解答下列問題： （ 1）當(dāng) t=3秒時，求 S的值；（ 2）當(dāng) t=5秒時，求 S的值； 【例 14】如圖 2416所示，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子 OA， O恰在圓形水面中心， OA=1． 25米．由柱子頂端 A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線的路線落下．為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計成水流在與高 46 OA距離為 1米處達(dá)到距水面最大高度 2． 25米． （ 1）如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水不致落到池外？ （ 2）若水池噴出的拋物線形狀如（ 1）相同，水池的半徑為 3． 5米，要使水流不致落到池外，此時水流最大高度應(yīng)達(dá)多少米？（精確到 0． 1米，提示：可建立如下坐標(biāo)系：以O(shè)A所在的直線為 y軸，過點(diǎn) O垂直于 OA 的直線為 x軸，點(diǎn) O為原點(diǎn)） 【例 15】某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為 40只，且每日生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．已知生產(chǎn) x只玩具熊 貓的成本為 R（元），每只售價為 P（元），且 R， P 與 x的表達(dá)式分別為 R=500＋ 30x， P=170－ 2x． （ 1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，每日獲利為 1750元？ （ 2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 【例 16】閱讀材料，解答問題． 當(dāng)拋物線的表達(dá)式中含有字母系數(shù)時，隨著系數(shù)中的字母取值的不同，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)出將發(fā)生變化．例如 y=x2－ 2mx＋ m2＋ 2m－ 1①，有 y=（ x－ m） 2＋ 2m－ 1②，∴拋物線的 47 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ m， 2m－ 1），即 ??? ??? ．?、?，　　?、?12my mx 當(dāng) m的值變化時， x、 y的值也隨之變化 ，因而 y值也隨 x值的變化而變化． 把③代入④，得 y=2x－ 1．⑤ 可見，不論 m取任何實數(shù)，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) y和橫坐標(biāo) x都滿足表達(dá)式 y=2x－ 1． 解答問題： （ 1）在上述過程中，由①到②所學(xué)的數(shù)學(xué)方法是 ，其中運(yùn)用了 公式，由③、④到⑤所用到的數(shù)學(xué)方法是 ． （ 2）根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線 y=x2－ 2mx＋ 2m2－ 3m＋ 1 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) y與橫坐標(biāo) x之間的表達(dá)式． 二、課后練習(xí)： 1．拋物線 y=－ 2x2＋ 6x－ 1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，對稱軸為 ． 2．如圖，若 a＜ 0， b＞ 0， c＜ 0，則拋物線 y=ax2＋ bx＋ c的大致圖象為（ ） 3．已知二次函數(shù) y=41 x2－ 25 x＋ 6，當(dāng) x= 時， y 最小 = ；當(dāng) x 時， y隨 x的增大而減?。? 4． 拋物線 y=2x2 向左平移 1 個單位，再向下平移 3 個單位，得到 的拋物線表達(dá)式 為 ． 5．二次函數(shù) y=ax2＋ bx＋ c的圖象如圖所示，則 ac 0．（填“＞”、“＜”或“ =”＝）。 學(xué)習(xí)過程 : 請你在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù) 的圖像，并指出它們的開口方向，對 稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)． 你能否在這個直角坐標(biāo)系中，再畫出函數(shù) 的圖像？ 41 你能否指出拋物線 的開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)？將在上面練習(xí)中三條拋物線的性質(zhì)填入所列的有中，如下表： 拋物線 開口方向 對稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 我們已知拋物線的開口方向是由二次函數(shù) 中的 a的值決定的，你能通過上表中的特征，試著總結(jié)出拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)是由什么決定的嗎？ 拋物線 有什么關(guān)系？ 它們的位置有什么關(guān)系？ ①拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ ②拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ ③拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ ④拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ ⑤拋物線 是由拋物線 怎 樣移動得到的？ 42 總結(jié)、擴(kuò)展 一般的二次函數(shù)，都可以變形成 的形式，其中： 1． a能決定什么？怎樣決定的？ 2．它的對稱軸是什么？頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？ 167。 學(xué)習(xí)難點(diǎn) : 確定形如 的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。 填寫下表： 表一： 拋物線 開口方向 對稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 表二： 拋物線 開口方向 對稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 40 167。 學(xué)習(xí)重點(diǎn) : 畫出形如 與形如 的二次函數(shù)的圖象，能指出上述函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo) . 學(xué)習(xí)難點(diǎn) : 理解函數(shù) 、 與 及其圖象間的相互關(guān)系 學(xué)習(xí)方法 : 探索研究法。 比較它們的性質(zhì)，你可以得到什么結(jié)論？ 四、例題： 【例 1】 已知拋物線 y=（ m＋ 1） x mm?2 開口向下，求 m 的值． 【例 2】 k 為何值時， y=（ k＋ 2） x 622 ??kk 是關(guān)于 x的二次函數(shù)？ 【例 3】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)① y=－ 3x2，② y=3x2，③ y=21 x2，④ y=－ 21 x2 的圖象，并根據(jù)圖象回答問題：（ 1）當(dāng) x=2 時， y=21 x2比 y=3x2大（或?。┒嗌?？（ 2）當(dāng) x=－ 2 時，y=－ 21 x2 比 y=－ 3x2 大（或?。┒嗌?？ 【例 4】已知直線 y=－ 2x＋ 3 與拋物線 y=ax2相交于 A、 B 兩點(diǎn)，且 A點(diǎn)坐標(biāo)為（－ 3， m）． （ 1）求 a、 m 的值； （ 2）求拋物線的表達(dá)式及其對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 3） x取何值時，二次函數(shù) y=ax2中的 y 隨 x的增大而減?。? （ 4）求 A、 B 兩點(diǎn)及二次函數(shù) y=ax2的頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積． 【例 5】有一座拋物線形拱橋，正常水位時，橋下水面寬度為 20m，拱頂距離水面 4m．（ 1） 35 在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的表達(dá)式；（ 2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升 h（ m）時，橋下水面的寬度為 d（ m），求 出將 d表示為 k的函數(shù)表達(dá)式；（ 3）設(shè)正常水位時橋下的水深為 2m，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于 18m，求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行． 五、課后練習(xí) 1．拋物線 y=－ 4x2－ 4 的開口向 ，當(dāng) x= 時， y 有最 值， y= ． 2．當(dāng) m= 時， y=（ m－ 1） x mm?2 － 3m 是關(guān)于 x的二次函數(shù)． 3．拋物線 y=－ 3x2上兩點(diǎn) A（ x，－ 27）， B（ 2， y），則 x= ， y= ． 4．當(dāng) m= 時，拋物 線 y=（ m＋ 1） x mm?2 ＋ 9 開口向下，對稱軸是 ．在對稱軸左側(cè)， y 隨 x的增大而 ；在對稱軸右側(cè)， y 隨 x的增大而 ． 5．拋物線 y=3x2 與直線 y=kx＋ 3 的交點(diǎn)為（ 2， b），則 k= ， b= ． 6．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為 y 軸，且經(jīng)過點(diǎn)（－ 1，－ 2），則拋物線的表達(dá)式為 ． 7．在同一坐標(biāo)系中，圖象與 y=2x2的圖象關(guān)于 x軸對稱的是（ ） A． y=21 x2 B． y=－ 21 x2 C． y=－ 2x2 D． y=－ x2 8．拋物線 ， y=4x2， y=－ 2x2的圖象，開口最大的是（ ） A． y=41