北師大版選修2-1高中數(shù)學第三章圓錐曲線與方程測試題b(參考版)
2024-12-04 22:16本頁面
【正文】 全國大綱理 )已知拋物線 C： y2＝ 2px(p0)的焦點為 F， 直線 y＝ 4 與 y軸的交點為 P， 與 C的交點為 Q， 且 |QF|＝ 54|PQ|. (1)求 C的方程 ； (2)過 F的直線 l與 C相交于 A、 B 兩點 ， 若 AB的垂直平分線 l′ 與 C 相交于 M、 N 兩點 ， 且 A、 M、 B、 N四點在同一圓上 ， 求 l的方程 ． [解析 ] (1)設 Q(x0,4)，代入 y2＝ 2px 得 x0＝ 8p. 所以 |PQ|＝ 8p， |QF|＝ p2＋ x0＝ p2＋ 8p. 由題設得 p2＋ 8p＝ 54 8p，解得 p＝－ 2(舍去 )或 p＝ 2. 所以 C的方程為 y2＝ 4x. (2)依題意知 l與坐標軸不垂直，故可設 l的方程為 x＝ my＋ 1(m≠ 0)． 代入 y2＝ 4x得， y2－ 4my－ 4＝ 0. 設 A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 y1＋ y2＝ 4m， y1y2＝－ 4. 故 AB的中點為 D(2m2＋ 1,2m)， |AB|＝ m2＋ 1|y1－ y2|＝ 4(m2＋ 1)． 又 l′ 的斜率為－ m，所以 l′ 的方程為 x＝－ 1my＋ 2m2＋ 3. 將上式代入 y2＝ 4x，并整理得 y2＋ 4my－ 4(2m2＋ 3)＝ 0. 設 M(x3， y3)， N(x4， y4)，則 y3＋ y4＝－ 4m， y3y4＝－ 4(2m2＋ 3)． 故 MN的中點為 E( 2m2＋ 2m2＋ 3，－ 2m)． |MN|＝ 1＋ 1m2|y3－ y4|＝ 4?m2＋ 1? 2m2＋ 1m2 . 由于 MN 垂直平分 AB，故 A、 M、 B、 N 四點在同一圓上等價于 |AE|＝ |BE|＝ 12|MN|，從而 14|AB|2＋ |DE|2＝ 14|MN|2， 即 4(m2＋ 1)2＋ (2m＋ 2m)2＋ ( 2m2＋ 2)2 ＝ 4?m2＋ 1?2?2m2＋ 1?m4 化簡得 m2－ 1＝ 0，解得 m＝ 1 或 m＝－ 1. 所求直線 l的方程為 x－ y－ 1＝ 0 或 x＋ y－ 1＝ 0. 。 1－ b2≤ b2＋ 1－ b2＝ 1， 當且僅當 b＝ 22 時， S取到最大值 1. (2)聯(lián)立????? y＝ kx＋ b，x24＋ y2＝ 1， 消去 y得 (k2＋ 14)x2＋ 2kbx＋ b2－ 1＝ 0， Δ＝ 4k2－ b2＋ 1 ① |AB|＝ 1＋ k2|x1－ x2|＝ 1＋ k22 1－ b2，所以 S＝ 12b安陽高二檢測 )直線 y＝ x＋ 3 與曲線 y29 －x|x|4 ＝ 1 交點的個數(shù)為__________________． [答案 ] 3 個 [解析 ] 當 x≥ 0 時，方程 y29－x|x|4 ＝ 1 化為y29－x24＝ 1；當 x＜ 0時，y29－x|x|4 ＝ 1 化為y29＋x24＝ 1，所以曲線y29－x|x|4 ＝ 1 是由半個雙曲線和半個橢圓組成的圖形，結合圖象可知 (如圖 )，直線 y＝ x＋ 3 與曲線 y29－ x|x|4 ＝ 1 的公共點的個數(shù)為 3. 15． 若橢圓 x2＋ y22＝ a2(a＞ 0)和連接 A(1,1)， B(2,3)兩點的線段恒有公共點
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