【正文】 但并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差補償不僅需要對誤差進(jìn)行特性分析，還需要對機(jī)構(gòu)加。 本章小結(jié) 本章以 清華大學(xué)設(shè)計的混聯(lián)機(jī)床的并聯(lián)機(jī)構(gòu) 為研究對象，通過閉環(huán)矢量方法， 分析了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)模型和誤差來源； 運用微分關(guān)系 對 并聯(lián) 機(jī)構(gòu)位置進(jìn)行誤差建模；在此基礎(chǔ)上對位置誤差進(jìn)行了分析， 全面分析了初始結(jié)構(gòu)參數(shù)和初始位姿參數(shù)對并聯(lián) 機(jī)構(gòu)位置 的影響，為后面章節(jié)的靜態(tài)誤差優(yōu)化提供了數(shù)學(xué)模型和理論依據(jù)。 0 200 400 600 800 10004020020406080（ ） 結(jié)構(gòu)參數(shù) 1l 圖 212 結(jié)構(gòu) 參數(shù) 1l 對位姿精度的影響 0 200 400 600 800 10000（ ） 結(jié)構(gòu)參數(shù) 2l 圖 213 結(jié)構(gòu) 參數(shù) 2l 對位姿精度的影響 0 500 1000 1500210（ ） 結(jié)構(gòu)參 數(shù) D 圖 214 結(jié)構(gòu) 參數(shù) D 對位姿精度的影響 分析圖 212到圖 214，可總結(jié)出結(jié)構(gòu)參數(shù)對位姿誤差的影響規(guī)律： (1) 在結(jié)構(gòu)參數(shù)變化中，位置誤差的變化遠(yuǎn)大于姿態(tài)角誤差的變化，其差異大致為 3個數(shù)量級，出現(xiàn)奇異值位置基本相近。下面給出結(jié)構(gòu)參數(shù)變化分別對位置誤差和姿態(tài)誤差的影響，分析結(jié)構(gòu)參數(shù) 1l 、 2l 、 D 對并聯(lián) 機(jī)構(gòu)位姿精度的影響 。奇異位姿的分析對于機(jī)構(gòu)設(shè)計中結(jié)構(gòu)的合理取值具有非常重要的參考意義。 (2) 姿態(tài)角參數(shù)對并聯(lián)機(jī)器人位姿誤差的影響較小，且各峰值出現(xiàn)的位置接近相同。由于 位置 參數(shù)變化對位置誤差的影響是姿態(tài)誤差的好幾個數(shù)量級，故將其分開分析， 其中包括 位置誤差包括yp? 、 zp? ， 姿態(tài)角誤差包括 ?? 。 位姿參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù) 變化 對 并聯(lián) 機(jī)器人 位姿 的影響 位置 參數(shù) 變化 對 并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置誤差 的影響 下面 給出了位置 參數(shù)變化分別對輸出 位置 誤差的影響。 (2) 對于給定的不同結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，所得出并聯(lián) 機(jī)構(gòu) 的位姿誤差不同。 設(shè) 并聯(lián)機(jī)構(gòu) 人坐標(biāo)系及結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為如圖 28 所示， 其個鉸 鏈 相對于各自坐標(biāo)系的位置矢量為： [0, 0]BO ? 1 [ , 0]2DB ?? 2 [ , 0]2DB ? 1 1 1 1 1[ ( s in ) , c o s ]2DT z z??? ? ? 2 2 2 2 2[ s in , c o s ]2DT z z???? 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的給定參數(shù)如下表： 表 21 并聯(lián) 機(jī)構(gòu) 結(jié)構(gòu)參數(shù) 1/l mm 2/l mm /Dmm 1/rad? 2/rad? 300 300 260 0 0 位置參數(shù)和參數(shù)為 : [ , ] [5 0 , 1 0 0 ]P z y?? ； 給定初始各結(jié)構(gòu)參數(shù)及 驅(qū)動桿 誤差如表 22 表 22 初始結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差 ()Dmm? 1()z mm? 2()z mm? 1()l mm? 2()l mm? 1()?? 2()?? 1 2 并聯(lián)機(jī)器機(jī)構(gòu) 輸出 位置 誤差 ： 1 1 1[ , ] [ , ]P z y? ? ??? 改變各初始結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差如表 23，為使動平臺輸出 位置 誤差具有可比章及標(biāo)題 25 性， 并聯(lián)機(jī)器機(jī)構(gòu) 輸出 位置 誤差 應(yīng) 不同 。其代碼編寫過程與數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程的格式很接近，使得編程更加直觀方便。并聯(lián) 機(jī)構(gòu) 誤差在其整個工作空間內(nèi)是個變量。其中， D、 1z 、 2z 、 1l 和 2l 為長度參數(shù)， 1? 和 2? 為角度參數(shù) 。 iJ 是聯(lián)系機(jī)器終端輸出誤差 δiX 和幾何參數(shù)誤差 δp 的雅可比矩陣。 式 (223)減去式 (221)得 ： 章及標(biāo)題 23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1δ δ δ δ δ δz z l l???? ? ? ? ?X B W R e R e n n (225) 式 (224)減去式 (222)得 ： 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2δ δ δ δ δ δz z l l???? ? ? ? ?X B W R e R e n n (226) 因為 T 1ii?nn ， δ 0ii?nn ， i=1， 2， 式 (225)兩邊同時點乘 T1n ，整理得 ： T T T T1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1δ δ δ δ δz z l???? ? ? ?n X n B n W R e n R e (227) 同理，式 (226)兩邊同時點乘 T2n ，整理得 : T T T T2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2δ δ δ δ δz z l???? ? ? ?n X n B n W R e n R e (228) 由式 (226)和式 (228)，整理得 ： TTT1 ( 1 ) 1 1 111T2 ( 1 ) 2 2 122δ20δδ20δδDyzzz????????? ?? ??? ???? ?? ?????? ??????n n R enn n R en T111 1 1 1T222 2 1 2δ δ010 δ δ001 l zl z??????? ? ? ????? ??? ? ? ????? ? ? ? ???n WR e n WR e (229) 位形 i 下，對這 2 個矢量鏈誤差建模，由式 (229)得 ： 2 1 2 7 7 1(δ ) ( ) (δ )ii? ? ??X J p (230) 公式 (230)是 2 自由度平面 并聯(lián) 機(jī)構(gòu) 幾何誤差模型的表達(dá)公式，其中公式左邊為動平臺中心在固定坐標(biāo)系中的誤差 δiX 。 存在微小幾何參數(shù)誤差時，式 (221)變?yōu)?： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1δ δ ( δ )( δ )( δ )( δ )z z l l??? ? ? ? ? ? ? ? ?X X B B R R e n n (223) 式中 1 1 1δ δ????R WR， 0110????????W。從基礎(chǔ)坐標(biāo)系 BO yz? 到運動坐標(biāo)系 T T TO yz? ，分別形 成兩個矢量 鏈閉環(huán) ： B 1 1 TO B T O? ? ? 和B 2 2 TO B T O? ? ? 。 1? 和 2? 分別是左、右導(dǎo)軌方向與鉛垂線的夾角，其名義值為 120 rad???? ?；A(chǔ)坐標(biāo)系 BO yz? 建立在導(dǎo)軌頂部，坐標(biāo)原點 BO 等分 D， y 軸與工作臺平行。 1T TO 和 2T TO 之間分別由定長桿件連接，桿長分別為 1l 和 2l 。因為篇幅所限，本論文主要分析其 平面 2 自由度 5 桿機(jī)構(gòu)，其 運動學(xué)近似模型構(gòu)造矢量鏈圖 如圖 28 所示 。]PD??? 誤差 T12[]PD ??????? 章及標(biāo)題 21 則有 39。 39。Z Z Z??? (3) 機(jī)構(gòu)的制造誤差 實際參數(shù) T12[]PD??? 名義參數(shù) T1239。 39。 [ 39。il 桿長 誤差 il? 則有 39。 我們在根據(jù)反解公式求 滑塊位移 的時候僅僅是知道這些量的名義值 (理論值 )，由于這些量的實際值與理論值存在偏差，這樣，即使能精確控制各 滑塊位移 ,由于這些偏差值的存在 ,動平臺的姿態(tài)仍然無法得到精確的控制。 而結(jié)構(gòu)誤差主要 是滑塊位置誤差、機(jī)構(gòu)的垂直誤差 和桿長誤差。 并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差來源 影響 并聯(lián)機(jī)構(gòu) 動平臺中心的誤差因素有很多 [34]，幾何誤差、熱變形誤差和載荷誤差占有最大比例 。縱觀各種誤差建模方法，其共同特燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 20 點是把各誤差因素作為各相應(yīng)變量的微小量，通過適當(dāng)?shù)膮?shù)變量處理，推導(dǎo)出刀具位姿誤差模型 [33]。建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差 模型并分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差，可以為并聯(lián)機(jī)床的設(shè)計、制造及誤差補償提供基本依據(jù)。因此 圖 25所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析就可以轉(zhuǎn)化為兩個簡單的平面機(jī)構(gòu)的工作空間分析，問題變的簡單很多，這個特性也是其他空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)所不具備的。因此，我們在分析其工作空間的時候，只要分析機(jī)構(gòu)沿 y軸的位置工作空間以及動平臺的轉(zhuǎn)動能力即可。此時，主 要的工作是通過搜索來確定工作空間的邊界。由以上各式可見，在機(jī)構(gòu)的正解模型中， ? 的解與 y 參數(shù)無關(guān)。但一般來說，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解問題主要靠數(shù)值法解決 在 給定機(jī)構(gòu)的各輸入?yún)?shù) iz ， (1,2,3)i? ，相應(yīng)的動平臺的位姿 ? ?,yz?可以得到如下 y mz n?? (215) 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 18 2 42f f egz e? ? ?? (216) ? ?12tan t? ?? (217) 式中 ， ? ?122zzm Rr?? ?， ? ?22124zzn Rr?? ? ， 12 ??me ， ? ? 122 znrRmf ???? ， ? ? 22212 RznrRg ????? ， BC CBAAt ? ????222， ? ?312 zzLA ?? ， 132 LLB ?? ， 23232122 )( LzzLLC ????? 在公式 (215)、 (216)和 (217)中 ， 注意到 當(dāng)輸入一定時， y 和 z 有兩組解，相應(yīng)地 ? 有四組解，因此 圖 25 所示的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)有四組運動正解，分別對應(yīng)著四組安裝模式。 與運動學(xué)反解比起來，并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解問題比較復(fù)雜。在實際的應(yīng)用中，需要根據(jù)機(jī)床的裝配以及運動情況選定其中的一組，針對 圖 25 所示的工作模式對應(yīng)的反解是以上 3式的“ ? ”號為“＋”的情況。 2 2 21 1 1 1()O B O P y z B P? ? ? ? (210) 39。 具體到這里研究的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中，運動學(xué)正解是指在已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)滑塊位置 (輸入 )，利用運動學(xué)方程來獲得并聯(lián)機(jī)構(gòu)刀具的位姿 (輸出 )；運動學(xué)反解是指在已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)刀具的位姿利用運動學(xué)方程獲得并聯(lián)機(jī)構(gòu)滑塊的位置。 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解是已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入，如位置、角度等，來確章及標(biāo)題 17 定并聯(lián)機(jī)床的輸出位姿， 即在 q 已知的情 況下，根據(jù)上式來確定 x 。Op r? 3 3 3bp L? 33OB R? 在參考系中 ip 點的坐標(biāo)為： 1 [0, , ]Tp y r z?? 2 [0, , ]Tp y r z?? 3 3 3[ c o s , 0 , s in ]Tp r r???? 位置向量 ib 可以表示為： 11[0, , ]Tb R z?? 22[0, , ]Tb R z? 3 3 3[ , 0, ]Tb R z?? 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正反解 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸 入和輸出之間的關(guān)系為： ( , ) 0F xq? (29) 其中： q 表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入，如位置、角度等。39。第三條 支鏈的固定坐標(biāo)系為 3 3 3 3{}bxyz ， 3b 為原點， 3x 軸沿著 33bp的方向， 3y 軸平行于固定坐標(biāo)系的 y 軸， 3z 軸由“右手定則”確定。同理在第一第二兩條支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)上定義固定坐標(biāo)系 1 1 1 1{}bxyz ， 2 2 2 2{}bx y z 。 39。 39。 為了建立并聯(lián)機(jī)床的運動模型，還需要在每一個支鏈上建立坐標(biāo)系。z 軸的逆時針旋轉(zhuǎn)的角度 ? 表示。 故動坐標(biāo)系的確定位置可用 39。y 軸沿著 1P 2P 方向， 39。O 點為坐標(biāo)原點，且在初始位置處，其坐標(biāo)軸和參考系坐標(biāo)軸對應(yīng)平行，即 39。 39。 39。 圖 26 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡圖 其中：參考坐標(biāo)系（簡稱參考系或定系）的原點 O 建立的 1B 、 2B 的中心 Oxy? 平面和機(jī)床水平面重合， x 軸垂直于直線 12BB ， y 軸沿著 1B 、 2B 的方向， z 軸利用“右手法則”由 x 、 y 軸決定。 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)表達(dá) 如圖 25 所示：為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡圖。 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué) 建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)模型有多種方法，其中比較簡單的方法是矢量法