20xx高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1綜合素質(zhì)檢測版1(參考版)
2024-12-02 01:11本頁面
【正文】 韶關(guān)市曲江一中月考 )已知函數(shù) f(x)＝ ax3＋ cx＋ d(a≠0) 是 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x＝ 1時， f(x)取得極值－ 2. (1)求函數(shù) f(x)的解析式； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值； (3)證明：對任意 x x2∈ (－ 1,1)，不等式 |f(x1)－ f(x2)|4恒成立． [答案 ] (1)f(x)＝ x3－ 3x (2)增區(qū)間 (－ ∞ ，－ 1)， (1，＋ ∞) ；減區(qū)間 (－ 1,1) 極大值 2 (3)略 [解析 ] (1)∵ f(x)是 R 上的奇函數(shù)， ∴ f(－ x)＝－ f(x)， 即－ ax3－ cx＋ d＝－ ax3－ cx－ d， ∴ d＝－ d， ∴ d＝ 0(或由 f(0)＝ 0得 d＝ 0)． ∴ f(x)＝ ax3＋ cx， f ′( x)＝ 3ax2＋ c， 又當(dāng) x＝ 1時， f(x)取得極值－ 2， ∴????? f ＝－ 2，f ＝ 0， 即 ????? a＋ c＝－ 2，3a＋ c＝ 0， 解得 ????? a＝ 1，c＝－ 3. ∴ f(x)＝ x3－ 3x. (2)f ′( x)＝ 3x2－ 3＝ 3(x＋ 1)(x－ 1)，令 f ′( x)＝ 0，得 x＝ 177。 哈六中期中 )已知函數(shù) f(x＋ 2)是偶函數(shù)， x2 時 f ′( x)0 恒成立 (其中f ′( x)是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) )，且 f(4)＝ 0，則不等式 (x＋ 2)f(x＋ 3)0的解集為 ________． [答案 ] (－ ∞ ，－ 3)∪ (－ 2,1) [解析 ] ∵ 函數(shù) y＝ f(x＋ 2)是偶函數(shù)， ∴ 其圖像關(guān)于 y 軸對稱， ∵ y＝ f(x＋ 2)的圖像向右平移兩個單位得到 y＝ f(x)的圖像， ∴ 函數(shù) y＝ f(x)的圖像關(guān)于直線 x＝ 2對稱， ∵ x2 時， f ′( x)0， ∴ f(x)在 (2，＋ ∞) 上單調(diào) 遞增，在 (－ ∞ ， 2)上單調(diào)遞減，又f(4)＝ 0， ∴ f(0)＝ 0， ∴ 0x4 時， f(x)0， x0或 x4 時， f(x)0， 由 (x＋ 2)f(x＋ 3)0得????? x＋ 20，f x＋ ， (1) 或????? x＋ 20，f x＋ (2) 由 (1)得????? x－ 2，x＋ 30或 x＋ 34， ∴ x－ 3； 由 (2)得????? x－ 2，0x＋ 34. ∴ － 2x1， 綜上知，不等式的解集為 (－ ∞ ，－ 3)∪ (－ 2,1) 三、解答題 (本大題共 6小題，共 75分，前 4題每題 12 分， 20 題 13分， 21題 14分 ) 16．已知函數(shù) f(x)＝ x3＋ ax2＋ b(a∈ R， b∈ R)．若 a0，且 f(x)的極大值為 5，極小值為 1，求 f(x)的解析式． [答案 ] f(x)＝ x3＋ 3x2＋ 1 [解析 ] ∵ f(x)＝ x3＋ ax2＋ b， ∴ f′( x)＝ 3x2＋ 2ax. 令 f′( x)＝ 0，得 x＝ 0或 x＝－ 2a3 . 又 ∵ a0， ∴ － 2a3 0. ∴ 當(dāng) x－ 2a3 或 x0時， f′( x)0； 當(dāng)－ 2a3 x0時， f′( x)0. ∴ f(x)在 (－ ∞ ，－ 2a3 )和 (0，＋ ∞) 上是增函數(shù)，在 (0， 2a3 )上是減函數(shù)． ∴ f(－ 2a3 )是 f(x)的極大值， f(0)是 f(x)的極小值， 即 f(－ 2a3 )＝ (－ 2a3 )3＋ a(－ 2a3 )2＋ b＝ 5； f(0)＝ b＝ 1，解得 a＝ 3， b＝ 1. ∴ 所求的函數(shù)解析式是 f(x)＝ x3＋ 3x
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