【正文】 北京高考 )如圖是某市 3月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月 1日至 3月 13日中的某一天到達(dá)該市，并停留 2天． 圖 3－ 2－ 1 (1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率； (2)求此人在該市停留期間只有 1天空氣重度污染的概率； (3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大 ？ (結(jié)論不要求證明 ) 【解】 (1)在 3 月 1日至 3 月 13日這 13天中， 1 日、 2日、 3日、 7日、 12 日、 13日共 6天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，所以此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為 613. (2)根據(jù)題意，事件 “ 此人在該市停留期間只有 1 天空氣重度污染 ” 等價(jià)于 “ 此人到達(dá)該市的日期是 4日或 5日或 7日或 8日 ” ，所以此人在該市停留期間只有 1天空氣重度污染的概率為 413. (3)從 3月 5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大． (教師用書(shū)獨(dú)具 ) 甲、乙兩人做出拳游戲 (錘子、剪刀、布 )．求一次出拳游戲中： (1)平局的概率； (2)甲贏的概率； (3)乙贏的概率． 【解】 甲有 3種不同的出拳方法，每一種出法是等可能的，乙同樣有等可能的 3種不同出法．一次出拳游戲共有 3179。9＝ 63(種 )，其中 m， n都取到奇數(shù)的情況有 4179。62 ＝ 18(對(duì) )，而相互垂直的有 5對(duì)，故根據(jù)古典概型概率公式得 P＝ 518. 【答案】 C 二、填空題 6．先后拋擲兩枚均勻的骰子，記骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為 x， y，則 log2xy＝ 1 的概率為 ________． 【解析】 解決本題的關(guān)鍵是對(duì)方程 log2xy＝ 1的分析．先從由 1,2,3,4,5,6組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)中找到滿(mǎn)足方程的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式求解． 由于滿(mǎn)足 log2xy＝ 1即 2x＝ y的 (x， y)有 (1,2)， (2,4)， (3,6)，又該試驗(yàn)有 36個(gè)等可能發(fā)生的基本事件，所以所求概率為 336＝ 112. 【答案】 112 7． (2020178。6 ＝ b＝ 4， c＝ 4或 b＝ 2， c＝ 1時(shí)， b2＝ 4c成立，故 P＝ 236＝ 118. 【答案】 D 4．從分別寫(xiě)有 A， B， C， D， E的 5張卡片中任取 2張，這 2張卡片上的字母恰好按字母順序相鄰的概率是 ( ) 【解析】 從 5 張卡片中任取 2 張的基本事件總數(shù)為 10，而恰好按字母順序相鄰的基本事 件共有 4個(gè)，故此事件的概率為 410＝ 25. 【答案】 B 5． (2020178。6 ＝ 36(個(gè) )，設(shè)事件 A＝ “ P(m， n)落在圓 x2＋ y2＝ 16內(nèi) ” ，則 A所包含的基本事件有 (1,1)、 (2,2)、 (1,3)、 (1,2)、 (2,3)、 (3,1)、 (3,2)、 (2,1)共 8個(gè)．所以 P(A)＝ 836＝ 29. 【答案】 29 三、解答題 9．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地相同的 1個(gè)白球和已有不同編號(hào)的 3個(gè)黑球，從中任意摸出 2個(gè)球． (1)共有多少種不同的基本事件，這些基本事件是否為等可能的？該試驗(yàn)屬于古典概型嗎？ (2)摸出的 2個(gè)球都是黑球記為事件 A，問(wèn)事件 A包含幾個(gè)基本事件； (3)計(jì)算事件 A的概率． 【解】 (1)任意摸出 2球，共有 “ 白球和黑球 1” 、 “ 白球和黑球 2” 、 “ 白球和黑球3” 、 “ 黑球 1和黑球 2” 、 “ 黑球 1和黑球 3” 、 “ 黑球 2和黑球 3”6 個(gè)基本事件．因?yàn)?個(gè)球的大小 、質(zhì)地相同，所以摸出每個(gè)球是等可能的，故 6個(gè)基本事件是等可能的．由古典概型定義知這個(gè)試驗(yàn)屬于古典概型． (2)從 4個(gè)球中摸出 2個(gè)黑球包含 3個(gè)基本事件，故事件 A包含 3個(gè)基本事件． (3)因?yàn)樵囼?yàn)中基本事件總數(shù) n＝ 6，而事件 A包含的基本事件數(shù) m＝ 3， 所以 P(A)＝ mn＝ 36＝ 12. 10． (2020178。 課標(biāo)全國(guó)卷 Ⅰ )從 1,2,3,4中任取 2 個(gè)不同的數(shù)，則取出的 2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為 2的概率是 ( ) 【解析】 從 1,2,3,4中任取 2個(gè)不同的數(shù)，有 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,3)，(2,4)， (3,1)， (3,2)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)，共 12種情形，而滿(mǎn)足條件 “2 個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為 2” 的只有 (1,3)， (2,4)， (3,1)， (4,2)，共 4種 情形，所以取出的 2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為 2的概率為 412＝ 13. 【答案】 B 二、填空題 6． (2020178。2 ＝ 8種，而出現(xiàn)兩正一反是一種結(jié)果，故所求概率 P＝ 18. 【錯(cuò)因分析】 在所有的 8種結(jié)果中，兩正一反并不是一種結(jié)果，而是有三種結(jié)果： (正，正，反 )， (正，反，正 )(反，正，正 )，上述錯(cuò)解在于對(duì)于等可能性事件的概念理解不清，所有 8種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能性的，如果把上述三種結(jié)果看作一種結(jié)果就 不是等可能性事件了，應(yīng)用求概率的基本公式 P＝ mn顯然就是錯(cuò)誤的． 【防范措施】 古典概型的計(jì)算務(wù)必緊扣它的兩個(gè)特征有限、等可能． 【正解】 所求概率 P＝ 38. 解決古典概型應(yīng)注意的問(wèn)題 1．判斷試驗(yàn)是否具有有限性和等可能性． 2．要分清基本事件總數(shù) n及事件 A包含的基本事件數(shù) m，利用公式 P(A)＝ mn求解． 3 ． 常 用 列 舉 法 、 列 表 法 、 樹(shù) 狀 圖 法 求 基 本 事 件 總數(shù) . 1． 下列事件屬于古典概型是 ( ) A．任意拋擲兩顆均勻的正方體骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件 B．籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，觀察他是否投中 C．測(cè)量一杯水中水分子的個(gè)數(shù) D．在 4個(gè)完全相同的小球中任取 1個(gè) 【解析】 判斷一個(gè)事件是否為古典概型，主要看它是否具有古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性． 【答案】 D 2．廣州亞運(yùn)會(huì)要在某高校的 8 名懂外文的志愿者中選 1 名，其中有 3 人懂日文，則選到懂日文的志愿者的概率為 ( ) 【解析】 8名懂外文的志愿者中隨機(jī)選 1名有 8個(gè)基本事件， “ 選到懂日文的志愿者 ”包含 3個(gè)基本事件，因此所求概率為 38. 【答案】 A 3． (2020178。2 古典概型 2． 1 古典概型的特征和概率計(jì)算公式 (教師用書(shū)獨(dú)具 ) ● 三維目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 (1)理解古典概型及其概率計(jì)算公式． (2)會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨 機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 2．過(guò)程與方法 根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，通過(guò)模擬試驗(yàn)讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性．觀察類(lèi)比各個(gè)試驗(yàn)，歸納總結(jié)出古典概型的概率計(jì)算公式，體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決概率的計(jì)算問(wèn)題． 、態(tài)度與價(jià)值觀 樹(shù)立從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用隨機(jī)的觀點(diǎn)來(lái)理性的理解世界，使得學(xué)生在體會(huì)概率意義的同時(shí)，感受與他人合作的重要性以及初步形成實(shí)事求是地科學(xué)態(tài)度和鍥 而不舍的求學(xué)精神．鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀察類(lèi)比提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度． ● 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率． 難點(diǎn)：如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，弄清在一個(gè)古典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)． (教師用書(shū)獨(dú)具 ) ● 教學(xué)建議 根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和歸納概括相結(jié)合的教學(xué)方法，通過(guò)提出問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題等教學(xué) 過(guò)程，觀察對(duì)比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過(guò)具體問(wèn)題的提出和解決，來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體能動(dòng)性，讓每一個(gè)學(xué)生充分地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)．最后在例題中加入模型的展示，幫助學(xué)生突破教學(xué)難點(diǎn)． ● 教學(xué)流程 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課：以擲硬幣試驗(yàn)為例考查事件的基本特點(diǎn) ?教師引導(dǎo)學(xué)生分析探究事件的構(gòu)成及特點(diǎn)，引出古典概型的概念并分析特點(diǎn) ?通過(guò)例 1及變式訓(xùn)練，使學(xué)生能掌握事件的構(gòu)成，突出重點(diǎn) ?通過(guò)例 2及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握簡(jiǎn)單古典概型的判斷方法 ?引導(dǎo)學(xué)生完成例 3及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握古典概型的概率 求法 ?歸納總結(jié)，知識(shí)升華，使學(xué)生系統(tǒng)的掌握本節(jié)知識(shí)并分層布置作業(yè) ?完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固本節(jié)知識(shí)并進(jìn)行反饋 課標(biāo)解讀 、兩個(gè)基本特征及計(jì)算公式 (重點(diǎn) )． 2．掌握求基本事件總數(shù)的常用方法：列舉法、樹(shù)狀圖法、列表法等 (重點(diǎn) )． 3．會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠊诺涓怕誓Ｐ偷母怕?(難點(diǎn) ). 古典概率模型的特征 【問(wèn)題導(dǎo)思】 1．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有哪幾種可能結(jié)果？ 【提 示】 (正，正 )， (正，反 )， (反，正 )， (反，反 )． 2．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，有哪些基本事件？每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等嗎？ 【提示】 這個(gè)試驗(yàn)的基本事件有六個(gè)，正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 1,2,3,4,5,6，由于質(zhì)地均勻，因此基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 1．試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有 有限個(gè) ，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果； 2．每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的 可能性 相同． 我們把具有這樣兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為 古典概型． 試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱(chēng)為 基本事件． 古典概型的概率公式 對(duì)于古典概型，通常試驗(yàn)中的某一事件 A是由幾個(gè)基本事件組成的．如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 (基本事件 )數(shù)為 n，隨機(jī)事件 A包含的 基本事件數(shù) 為 m，那么事件 A的概率規(guī)定為P(A)＝ 事件 A包含的可能結(jié)果數(shù)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù) ＝ mn. 試驗(yàn)的基本事件 一個(gè)盒子中裝有 4個(gè)完全相同的球，分 別標(biāo)有號(hào)碼 1,2,3,5，有放回地取兩次球． (1)寫(xiě)出該試驗(yàn)的基本事件及基本事件總數(shù)； (2)寫(xiě)出 “ 取出的兩球上的數(shù)字之和是 6” 這一事件包含的基本事件． 【思路探究】 解答本題可先用列舉法一一列舉出來(lái)，再指出符合要求的基本事件． 【自主解答】 (1)這個(gè)試驗(yàn)包含的基本事件為 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,5)， (2,1)，(2,2)， (2,3)， (2,5)， (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,5)， (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,5)共有16個(gè)基本事件． (2)“ 取出的兩球上的數(shù) 字之和是 6” 包含的基本事件有 (1,5)， (3,3)， (5,1)三個(gè)． 1．本題中的基本事件是 “ 有放回地取兩次球 ” ，每個(gè)事件也稱(chēng)一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，表達(dá)每種結(jié)果時(shí)，可依據(jù)有無(wú)順序選用符號(hào) “{ }” 或 “( )” ．本題中由于是有放回摸出 2只球，有先后順序，故宜用 “( )” 表示每個(gè)基本事件，如 (a， b)和 (b， a)是兩個(gè)結(jié)果． 2．用列舉法列舉所有基本事件時(shí)，要按一定的規(guī)律依次列舉，避免重復(fù)和遺漏．另外樹(shù)狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合較復(fù)雜問(wèn)題中基本事 件數(shù)的探求． 隨意安排甲、乙、丙 3人在 3天節(jié)日中值班，每人值班 1天． (1)這 3人的值班順序共有多少種不同的安排方法？ (2)其中甲在乙之前的安排方法有多少種？ 【解】 (1)作樹(shù)狀圖如下： 甲乙 — 丙丙 — 乙 乙甲 — 丙丙 — 甲 丙甲 — 乙乙 — 甲 故不同的安排方法共有 6種． (2)由樹(shù)狀圖得，甲在乙之前的排法有 3種． 古典概型的判定 (1)在數(shù) 軸的 0～ 3之間任取一點(diǎn)，你認(rèn)為該試驗(yàn)是古典概型嗎？為什么？若是，則求此點(diǎn)的坐標(biāo)小于 1的概率； (2)從 1,2,3,4四個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)數(shù)，你認(rèn)為該試驗(yàn)是古典概型嗎？為什么？若是，則求所取兩數(shù)之一是 2的概率． 【思路探究】 要判斷試驗(yàn)是否為古典概型，只需看該試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果是否為有限個(gè)；每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相同． 【自主解答】 (1)在數(shù)軸的 0～ 3之間任取一點(diǎn)，此點(diǎn)可以在 0～ 3之間的任一位置，且在每個(gè)位置的可能性是相同的，具備等可能性．但試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限多個(gè)，不滿(mǎn)足古典概型的特征 “ 有限性 ” ，因此不屬于 古典概型． (2)因?yàn)榇嗽囼?yàn)的所有基本事件共 6個(gè)： (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)，且每個(gè)事件的出現(xiàn)是等可能的，因此屬于古典概型，兩數(shù)之一是 2的概率為 p＝ 36＝ 12. 1．列出隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件，進(jìn)而求解相應(yīng)事件概率． 2．判斷是否為古典概型關(guān)鍵是看試驗(yàn)是否同時(shí)具備古典概型的兩個(gè)特征． 下列概率模型中，是 古典概型的個(gè)數(shù)為 ( ) (1)從區(qū)間 [1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到 1的概率； (2)從 [1,10]中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到 1的概率； (3)在一個(gè)正方形 ABCD內(nèi)畫(huà)一點(diǎn) P，求 P剛好與點(diǎn) A重合的概率； (4)向上拋擲一枚