【正文】 汕頭質(zhì)檢 ] 已知正項(xiàng)等差數(shù)列 { an} 的前 20 項(xiàng)的和為 100 ，那么 a6 鄭州檢測(cè) ] 已知等差數(shù)列 { an} ，滿足：a5＝ 9 ， a2＋ a6＝ 14. ( 1) 求 { an} 的通項(xiàng)公式； ( 2) 若 bn＝ an＋ 2 an，求數(shù)列 { bn} 的前 n 項(xiàng)和 Sn. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 解： ( 1) 設(shè) { an} 的首項(xiàng)為 a1，公差為 d ， 則由 a5＝ 9 ， a2＋ a6＝ 14 ，得?????a1＋ 4 d ＝ 9 ，2 a1＋ 6 d ＝ 14 ， 解得?????a1＝ 1 ，d ＝ 2 ， 所以 { an} 的通項(xiàng)公式 an＝ 2 n － 1. ( 2) 由 an＝ 2 n － 1 得 bn＝ 2 n － 1 ＋ 22 n － 1. Sn＝ [1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ? ＋ (2 n － 1 ) ] ＋ (21＋ 23＋ 25＋ ? ＋ 22 n － 1) ＝ n2＋2 （ 1 － 22 n）1 － 22＝ n2＋22 n ＋ 1－ 23. ? 探究點(diǎn)三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 例 3 ( 1) [ 2020 山西四校聯(lián)考 ] 已知數(shù)列 { an} 是首項(xiàng)為 a1＝14，公比 q ＝14的等比數(shù)列，設(shè) bn＋ 2 ＝ 3 lo g14an( n ∈ N*) ，求證： { bn} 是等差數(shù)列． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 證明： 由題意知， an＝??????14n( n ∈ N*) ， ∴ bn＝ 3 log14an－ 2 ＝ 3 log14 ??????14n－ 2 ＝ 3 n － 2 ， b1＝ 3 log14a1－ 2 ＝ 1. ∴ bn ＋ 1－ bn＝ 3( n ＋ 1) － 2 － (3 n － 2) ＝ 3. ∴ 數(shù)列 { bn} 是首項(xiàng) b1＝ 1 ，公差 d ＝ 3 的等差數(shù)列． ? 探究點(diǎn)二 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 例 2 [ 2020 廣東卷改編 ] 數(shù)列 { an} 滿足 an ＋ 1－ an＝n ，則數(shù)列 { an} 是等差數(shù)列． ( ) ( 3) 已知數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式是 an＝ pn ＋ q ( 其中 p ，q 為常數(shù) ) ，則數(shù)列 { an} 一定是等差數(shù)列． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 [ 解析 ] ( 1) 應(yīng)指明作差的順序是后項(xiàng)減前項(xiàng)，公差 d 一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求． ( 2) 第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差是同一個(gè)常數(shù)，這樣的數(shù)列是等差數(shù)列．而 n 不是常數(shù)，所以 { an} 不是等差數(shù)列． ( 3) 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an－ an － 1＝ ( pn ＋ q ) － [ p ( n － 1) ＋ q ] ＝ p ，它是一個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的數(shù)，故這個(gè)數(shù)列是以 p 為公差的等差數(shù)列． [ 答案 ] ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) √ 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 2 ． 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式及運(yùn)用 ( 1) 在等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 Sn＝ na1＋n （ n － 1 ）2d中 ， Sn一定是關(guān)于 n 的二次函數(shù)． ( ) ( 2) 如果一個(gè)數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn＝ pn2＋ qn ＋ r ，其中 p ， q ， r 為 常數(shù)，且 p ≠ 0 ，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列． ( ) [ 答案 ] ( 1 ) ( 2 ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 [ 解析 ] ( 1) Sn＝d2n2＋??????a1－d2n ，當(dāng) d ＝ 0 時(shí)， Sn不是關(guān)于n 的二次函數(shù)；當(dāng) d ≠ 0 時(shí)， Sn是關(guān)于 n 的二次函數(shù)． ( 2) 由 Sn＝ pn2＋ qn ＋ r ，得 n ＝ 1 時(shí)， S1＝ a1＝ p ＋ q ＋ r ， 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn － 1＝ ( pn2＋ qn ＋ r ) － [ p ( n － 1)2＋ q ( n－ 1) ＋ r ] ＝ 2 pn － ( p － q ) , ① 若 r ＝ 0 ， a1＝ p ＋ q ＋ r 適合 ① 式，則數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式為 an＝ 2 pn － ( p － q ) ， ∴ d ＝ an－ an － 1＝ [2 pn － ( p － q )] － [2 p ( n － 1) － ( p － q )] ＝2 p ( 常數(shù) ) ， 故這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列，首項(xiàng) a1＝ p ＋ q ，公差為2 p ； 若 r ≠ 0 ， a1＝ p ＋ q ＋ r 不適合 ① 式，則數(shù)列 { an} 不是等差數(shù)列． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 3 ． 等差數(shù)列的性質(zhì) ( 1) 在等差數(shù)列 { an} 中， a3＋ a7＝ a10. ( ) ( 2) 若數(shù)列 { an} 和 { bn} 都是等差數(shù)列，則數(shù)列 { pan－qbn} ， ( p ， q 為常數(shù) ) 也是等差數(shù)列． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 [ 解析 ] ( 1) 在等差數(shù)列 { an} 中， a3＋ a7＝ a1＋ 2 d ＋ a1＋ 6 d ＝ 2 a1＋ 8 d ， a10＝ a1＋ 9 d ，故 a3＋ a7≠ a10. 注意：在等差數(shù)列中， am＋ an≠ am ＋ n，左右兩邊項(xiàng)數(shù)一定要相同才能用上述性質(zhì)． ( 2) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 和 { bn} 的公差分別為 d1， d2，則當(dāng)n ≥ 2 時(shí)， ( pan－ qbn) － ( pan － 1－ qbn － 1) ＝ p ( an－ an － 1) － q ( bn－bn － 1) ＝ pd1－ qd2，它是一個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的數(shù)，故這個(gè)數(shù)列是以 pd1－ qd2為公差的等差數(shù)列． [ 答案 ] ( 1 ) ( 2 ) √ 說(shuō)明： A表示簡(jiǎn)單題， B表示中等題， C表示難題，考頻分析 2020年課標(biāo)地區(qū)真題卷情況． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 考點(diǎn)統(tǒng)計(jì) 題型 (考頻 ) 題型示例 (難度 ) 0 填空 (2) 2020年北京 10(A)， 2020年課標(biāo) T14(A) 選擇 (1) 2020年遼寧 T4(A) ? 探究點(diǎn)一 等差數(shù)列的判斷與證明 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和 例 1 [ 2020 太原模擬 ] 數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和 Sn滿足 Sn＝2 nn ＋ 1，則 an＝ ___ _____ ． 返回目錄 多元提能力 第 28講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 [ 答案 ] ( 1 )????? 1 （ n ＝ 1 ），n2 （ n ≥ 2 ） ( 2 )2n （ n ＋ 1 ） [ 解析 ] ( 1) 將這五個(gè)數(shù)都寫成分?jǐn)?shù)的形式：22，22，32，42，52， 可以看 出，從第二項(xiàng)起，構(gòu)成等差數(shù)列，滿足 an＝n2( n ≥ 2) ， 第一項(xiàng)不滿足該式，所以通項(xiàng)公式可以是 an＝????? 1 （ n ＝ 1 ），n2（ n ≥ 2 ） . 返回目錄 多元提能力 第 28講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 ( 2) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，有 a1＝ 1 ，當(dāng) n ≥ 2 時(shí)有 an＝ Sn－ Sn － 1＝2 nn ＋ 1－2 （ n － 1 ）n＝2n （ n ＋ 1 ），且 a1＝ 1 滿足上式，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式是 an＝2n （ n ＋ 1 ）. 備選理由 例 1是由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式問(wèn)題，例 2涉及數(shù)列的周期性問(wèn)題，例 3是數(shù)列與不等式的結(jié)合問(wèn)題，都有一定的綜合性，選這幾個(gè)題目意在培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力． 返回目錄 教師備用題 第 28講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 返回目錄 教師備用題 第 28講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 例 1 已知數(shù)列 { an} 滿足 a1＝ 33 ， an ＋ 1－ an＝ 2 n ，則ann的最小值為 ________ ． [ 分析 ] 利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用不等式法求最值． [ 答案 ] 21 2 返回目錄 教師備用題 第 28講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 [ 解析 ] 在 an＋1－ an＝ 2 n 中，令 n ＝ 1 ，得 a2－ a1＝ 2 ；令 n ＝ 2 得， a3－ a2＝ 4 ， ? ， an－ an－1＝ 2( n － 1) ．把上面 n－ 1 個(gè)式子相加，得 an－ a1＝ 2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ ? ＋ 2( n － 1) ＝（ 2 ＋ 2 n － 2 ）（ n － 1 ）2＝ n2－ n ，所以 an＝ n2－ n ＋ 33 ，所以ann＝n2－ n ＋ 33n＝ n ＋33n－ 1 ≥ 2 33 － 1 ，當(dāng)且僅當(dāng) n ＝33n，即 n ＝ 33 時(shí)取等號(hào)，而 n ∈ N*，所以 “ ＝ ” 取不到．因?yàn)?5 ＜ 33 ＜ 6 ，所以當(dāng) n ＝ 5 時(shí)，ann＝ 5 － 1 ＋335＝535，當(dāng) n＝ 6 時(shí)，ann＝ 6 － 1 ＋336＝636＝212，因?yàn)?35＞212，所以ann的最小值是212. 返回目錄 教師備用題 第 28講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 例 2 已知 f ( x ) 為偶函數(shù)，且 f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) ，當(dāng)－2 ≤ x ≤ 0 時(shí)， f ( x ) ＝ 2x，若 n ∈ N*， an＝ f ( n ) ，則 a2 0 1 3＝ ( ) A ． 2 013 B ． 2 C.12 D ． － 2 返回目錄 教師備用題 第 28講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 [ 分析 ] 由 f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) 知函數(shù) f ( x ) 圖象關(guān)于直線 x ＝ 2對(duì)稱．又 f ( x ) 是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，由此可 得出f ( x ) 是周期函數(shù)． 返回目錄 教師備用題 第 28講 數(shù)