【正文】 鄭州一中月考 ] 函數 y ＝ lo g 0 . 5 （ 4 x2－ 3 x ）的定義域為 ________ ． 返回目錄 多元提能力 第 34講 一元二次不等式的解法 [ 答案 ] ( 1) ( － ∞ ，－ 4) ∪ (4 ，＋ ∞ ) ( 2)??????－14 ， 0 ∪ ??????34 ， 1 [ 解析 ] ( 1) 若 x 0 ，則 x2－ 3 x － 4 0 ，解得 x 4 ；若 x ≤ 0 ，則 x2＋ 3 x － 4 0 ，解得 x － 4. ( 2) 由題意得： log0 . 5(4 x2－ 3 x ) ≥ 0 ，則由對數函數性質 得： 0 4 x2－ 3 x ≤ 1 ，即?????0 4 x2－ 3 x ，4 x2－ 3 x ≤ 1 ，求得函數的定義域為 ??????－14， 0 ∪??????34， 1 . 返回目錄 教師備用題 第 34講 一元二次不等式的解法 備選理由 例 1 是解含有參數的不等式，需要對首項系數進行分類，還需要 使用求根公式，可以作為探究點二的參考；例 2 說明不等式模型的應用，作為探究點四的參考． 返回目錄 教師備用題 第 34講 一元二次不等式的解法 例 1 已知常數 a ∈ R ，解關于 x 的不等式 ax 2 － 2 x ＋ a 0. 解： ( 1) a ＝ 0 時，解集為 x 0 . ( 2) a 0 時， Δ ＝ 4 － 4 a2. ① 當 Δ 0 ，即 0 a 1 時，方程 ax2－ 2 x ＋ a ＝ 0 兩根為1 177。 144 ＝ 864. 當且僅當 21 － x ＝ 3 ＋ x ，即 x ＝ 9 時取等號． 答：生產第 9 檔次的產品獲利最大． 易錯究源 12 忽視等價轉化而致誤 返回目錄 多元提能力 第 34講 一元二次不等式的解法 例 函數 f ( x ) ＝1 － xx ＋ 2的定義域為 ( ) A ． [ － 2 ， 1] B ． ( － 2 ， 1] C ． [ － 2 ， 1) D ． ( － ∞ ，－ 2] ∪ [1 ，＋ ∞ ) 返回目錄 多元提能力 第 34講 一元二次不等式的解法 錯解 A 1 － xx ＋ 2≥ 0 ?x － 1x ＋ 2≤ 0 ， ? ( x － 1) ( x ＋ 2) ≤ 0 ， ① ? － 2 ≤ x ≤ 1. 故選 A. 返回目錄 多元提能力 第 34講 一元二次不等式的解法 [ 錯因 ] ① 處：與原不等式不等價，因為 x ＋ 2 ≠ 0 ，x ≠ － 2. [ 正解 ] B 1 － xx ＋ 2≥ 0 ?x － 1x ＋ 2≤ 0 ??????（ x － 1 ）（ x ＋ 2 ） ≤0 ，x ＋ 2≠0??????－ 2≤ x ≤1 ，x ≠ － 2? － 2 x ≤1. 故選 B. 返回目錄 多元提能力 第 34講 一元二次不等式的解法 自我檢評 ( 1) [ 2020 1 000 ， 即 x2－ 500 x ≤ 0 ，又 0 x ≤ 500. 即最多調整 500 名員工從事第三產業(yè)． ( 2) 從事第三產業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為 10??????a －3 x500x 萬元，從事原來產業(yè)的員工的年總利潤為 10( 1 000 － x )??????1 ＋1500x萬元， 則 10??????a －3 x500x ≤ 10 ( 1 000 － x )??????1 ＋1500x ， 所以 ax －3 x2500≤ 1 000 ＋ 2 x － x －1500x2，所以 ax ≤2 x2500 ＋ 1 000 ＋ x ， 返回目錄 點面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 即 a ≤2 x500＋1 000x＋ 1 恒成立， 因為2500x ＋1 000x≥ 22 x5 00178。 石家莊模擬 ] 已知不等 式 ax 2 ＋ 4 x ＋ a ＞ 1－ 2 x 2 對一切實數 x 恒成立，求實數 a 的取值范圍． 返回目錄 點面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 思考流程 條件： ax2＋ 4 x ＋ a ＞ 1 － 2 x2對一切實數 x 恒成立；目標：實數 a 的取值范圍；方法：化為標準形式 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 后分 a ＝ 0 與 a ≠ 0 討論． 返回目錄 點面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 解： 原不等式等價于 ( a ＋ 2) x2＋ 4 x ＋ a － 1 ＞ 0 對一切實數 x恒成立，顯然 a ＝－ 2 時，解集不是 R ，因此 a ≠ － 2 ， 從而有?????a ＋ 20 ，Δ ＝ 42－ 4 （ a ＋ 2 ）（ a － 1 ） 0 ， 整理，得?????a － 2 ，（ a － 2 ）（ a ＋ 3 ） 0 ，所以?????a － 2 ，a － 3 或 a 2 ， 所以 a ＞ 2. 故 a 的取值范圍是 (2 ，＋ ∞ ) ． 返回目錄 點面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 點評 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 的解是全體實數 ( 或恒成立 )的條件是當 a ＝ 0 時， b ＝ 0 ， c ＞ 0 ；當 a ≠ 0 時，?????a 0 ，Δ 0 ；不等式ax2＋ bx ＋ c ＜ 0 的解是全體實數 ( 或恒成立 ) 的條件是當 a ＝ 0時， b ＝ 0 ， c ＜ 0 ；當 a ≠ 0 時，?????a 0 ，Δ 0. 返回目錄 點面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 歸納總結 一元二項不等式在指定范圍的恒成立 ( 或者不等式在 指定范圍的恒成立 ) ，其本質是這個不等式的解集包含著指定的區(qū)間． 解決這類問題的基本方 法，一是引進函數關系后，通過函數圖象實現數形結合；二是等價轉化，轉化為求函數的最值或是值域． 返回目錄 點面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 變式題 已知函數 f ( x ) ＝ x2＋ ( lg a ＋ 2) x ＋ lg b 滿足 f ( － 1) ＝－ 2 ，且對于任意 x ∈ R ，恒有 f ( x ) ≥ 2 x 成立． ( 1) 求實數 a ， b 的值； ( 2) 解不等式： f ( x ) x ＋ 5. 返回目錄 點面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 解： ( 1) 由 f ( － 1) ＝－ 2 知 lg b － lg a ＋ 1 ＝ 0 ， ① ∴ab＝ 10 ， ② 又 f ( x ) ≥ 2 x 恒成立，有 x2＋ x 4 ＝－ 4 ，于是 a ＋ b ＝－ 7.故選 D. ( 2) 由條件得 a2－ 4 b ＝ 0 ，從而 f ( x ) ＝??????x ＋a22， 不等式 f ( x ) c 解集為－a2－ c x －a2＋ c ， 故?????－a2－ c ＝ m ，－a2＋ c ＝ m ＋ 6 ，兩式相減得 c ＝ 3 ， c ＝ 9. [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) 9 ? 探究點二 含有參數一元二次不等式的解法 返回目錄 點面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 例 2 [ 2020 唐山模擬 ] 設 A ＝ { x | x2－ 2 x － 3 0} ，B ＝ { x | x2＋ ax ＋ b ≤ 0} ，若 A ∪ B ＝ R ， A ∩ B ＝ (3 ， 4] ，則 a＋ b 等于 ( ) A ． 7 B ． － 1 C ． 1 D ． － 7 ( 2) [ 2020 課程標準 卷改編 ] 已知集合 A ＝ { x | x2－ x－ 2 0} ， B ＝ { x |－ 1 x 1 } ，則 A ∩ B ＝ ( ) A ． A B ． B C ． { x | 1 x 2} D ． ( 2) [ 2020 2 ． 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法如下： ( 1) [ 2020 ( 2 ) 179。 長春模擬 ] 如果 a ， b ， c ， d 是任意實數，則 ( ) A ． a b ， c ＝ d ? ac bd B ． a3 b3， ab 0 ?1a1b C. acbc? a b D ． a2 b2， ab 0 ?1a1b ( 2 ) 若1a1b0 ，則下列不等式： ① a ＋ b ab ； ② | a | | b |；③ a b ； ④ba＋ab2. 其中正確的不等式有 ( ) A ． 1 個 B ． 2 個 C ． 3 個 D ． 4 個 返回目錄 點面講考向 第 33講 不等關系與不等式 [ 解析 ] 對于 B ，由 a3 b3知 a b ，而 ab 0 ，由不等式的倒數法則知1a1b，故選 B. ( 2) 由1a1b0 得 b a 0 ， ab 0 ，于是可知 ①④ 正確，②③ 錯誤，故選 B. [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) B ? 探究點三 利用不等式的性質證明不等關系 返回目錄 點面講考向 第 33講 不等關系與不等式 例 3 [ 2020 x ≥ 20. 返回目錄 點面講考向 第 33講 不等關系與不等式 ( 2) 最多 22 元即小于或等于 22 元；不小于 24 元即大于或等于 24 元，故可得不等式組： ??????? 4 x ＋ 5 y ≤ 22 ，6 x ＋ 3 y ≥ 24 ，x 0 ，y 0. 點評 建立實際問題中的不等關系的關鍵是抓住其中制約目標的變量，如本節(jié)例 1中的目標是“總收入仍不低于超過 20萬元”，制約這個目標的就是雜志的定價，這就是其中的變量，只要變量找出來了，就可以根據要求列不等式． 返回目錄 點面講考向 第 33講 不等關系與不等式 歸納總結 對于不等式的表示問題，關鍵是理解題意，分清變化前后的各種量，得出相應的代數式，然后用不等式表示．而對于涉及條件較多的實際問題，則往往需列不等式組解決． 返回目錄 點面講考向 第 33講 不等關系與不等式 返回目錄 點面講考向 第 33講 不等關系與不等式 變式題 ( 1) 一個工程隊規(guī)定要在 6 天內完成 300 土方的工程，第一天完成了 60 土方，現在要比原計劃至少提前2 天完成任務，則以后幾天平均每天至少要完成的土方數 x應滿足的不等式為 ________________ ． ( 2) 鐵礦石 A 和 B 的含鐵率 a ，冶煉每萬噸鐵礦石的 CO2的排放量 b 及每萬噸鐵礦石的價格 c 如下表： a b ( 萬噸 ) c ( 百萬元 ) A 50 % 1 3 B 70% 6 某冶煉廠至少要生產 萬噸鐵，要求 CO2的排放量不超過 2 萬噸．若設鐵礦石 A 購買了 x 萬噸，鐵礦石 B