【正文】 1 000x＝ 4 ， 當(dāng)且僅當(dāng)2 x500＝1 000x，即 x ＝ 500 時(shí)等號(hào)成立． 所以 a ≤ 5 ，又 a 0 ，所以 0 a ≤ 5 ， 即 a 的取值范圍為 (0 ， 5] ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 歸納總結(jié) 以實(shí)際應(yīng)用問題的形式給出的不等關(guān)系，首先要選擇一個(gè)變量建立這個(gè)問題的函數(shù)模型或者不等式模型，然后再根據(jù)問題的求解目標(biāo)，選擇使用不等式的方法，通過解不等式或者證明不等式達(dá)到解題的目的． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 變式題 一類產(chǎn)品按質(zhì)量共分為 10 個(gè)檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤(rùn) 8 元，每提高一個(gè)檔次每件利潤(rùn)增加 2 元，一天的工時(shí)可以生產(chǎn)最 低檔次產(chǎn)品 60 件，提高一個(gè)檔次將減少3 件，求生產(chǎn)何種檔次的產(chǎn)品獲利最大？ 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 解： 將產(chǎn)品從低到高依次分為 10 個(gè)檔次． 設(shè)生產(chǎn)第 x 檔次的產(chǎn)品 (1 ≤ x ≤ 10 ， x ∈ N ) ，利潤(rùn)為 y 元， 則 y ＝ [ 60 － 3( x － 1) ] [ 8 ＋ 2( x － 1 ) ] ＝ ( 63 － 3 x ) ( 6 ＋ 2 x ) ＝ 6( 21 － x )(3 ＋ x ) ≤ 6????????（ 21 － x ）＋（ 3 ＋ x ）22 ＝ 6 179。 江西卷 ] 不等式x2－ 9x － 20 的解集是 ________ ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 思考流程 ( 1) 分析：求出一元二次不等式 x2－ x － 20的解集；推理：將集合 A ，集合 B 在數(shù)軸上表示出來，確定公共部分的解集；結(jié)論：公共部分就是所求的結(jié)論； ( 2) 分析：分式不等式向 整式不等式化歸；推理：將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來；結(jié)論：解集的公 共部分即是不等式組的解集． [ 答案 ] ( 1) B ( 2) { x |－ 3 x 2 或 x 3} 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 [ 解析 ] ( 1) 易知集合 A ＝ { x |－ 1 x 2} ，又已知 B ＝ { x |－1 x 1} ，所以 B A . 故選 B. ( 2) 原不等式可化為 ( x ＋ 3) ( x － 3) ( x － 2) 0 ，利用穿針引線法可得 { x |－ 3 x 2 或 x 3} ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 點(diǎn)評(píng) 求解第 ( 1) 題的實(shí)質(zhì)就是先解不等式，然后求交集；求解第 ( 2) 題的關(guān)鍵是將分式不 等式轉(zhuǎn)化為整式不等式． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 歸納總結(jié) 一元二次不等式、一元二次方程及二次函數(shù)聯(lián)系非常緊密，要注意相互轉(zhuǎn)化；解分式不等式的兩種常用方法： ① 性質(zhì)討論法：先依據(jù)分式的分子、分母同號(hào)或異號(hào)進(jìn)行分類討論，再將不等式的解集畫在數(shù)軸上尋找公共部分． ② 化歸法：如果分式不等式的分子、分母能夠因式分解，則可將分式 不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式 ( x － x1)( x－ x2) …( x － xn) 0( 或 0) 的形式，再利用穿針引線法求解． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 34講 一元二次不等式的解法 變式題 ( 1) [ 2020 湖南卷 ] 設(shè) a b 1 ， c 0 ，給出下列三個(gè)結(jié)論： ①cacb； ② ac＜ bc； ③ log b ( a － c ) log a ( b － c ) ． 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ( ) A ． ① B ． ①② C ． ②③ D ． ①②③ 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 33講 不等關(guān)系與不等式 思考流程 分析：理解每一個(gè)選項(xiàng)中不等式成立的條件；推理：對(duì)照選項(xiàng)中的不等式形式，將題設(shè)條件中的不等式利用相關(guān) 性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形；結(jié)論：通過推理得出正確的結(jié)論選項(xiàng) ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 33講 不等關(guān)系與不等式 [ 解析 ] D 本題考查不等式性質(zhì)、指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小比較，意在考查對(duì)不等式 性質(zhì)、冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用能力；解題思路：轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)比較大小，利用換底公式比較對(duì)數(shù)式的大小． 由不等式的基本性質(zhì)可知 ①對(duì)；冪函數(shù) y ＝ xc( c 0) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞減，又 a ＞ b ＞ 1 ，所以 ② 對(duì)；由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得 logb( a － c ) ＞ logb( b －c ) ，又由對(duì)數(shù)的換底公式可知 logb( b － c ) ＞ lo ga( b － c ) ，所以 logb( a － c ) ＞ loga( b － c ) ，故選項(xiàng) D 正確． 點(diǎn)評(píng) 本題易錯(cuò)一：不等式基本性質(zhì)不了解，以為①錯(cuò)；易錯(cuò)二：指數(shù)式大小比較，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，容易出錯(cuò)；易錯(cuò)三：對(duì)換底公式不了解，無法比較，錯(cuò)以為③錯(cuò)．對(duì)于不等式性質(zhì)的判斷題，必須嚴(yán)格遵循不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理，這里常見的錯(cuò)誤有兩種：①不等式兩邊同乘以 (或除以 )一個(gè)式子時(shí)不注意討論它的符號(hào) (或是否為零 )；②在涉及函數(shù)的不等式進(jìn)行判斷時(shí)，沒有考慮到函數(shù)有意義的條件． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 33講 不等關(guān)系與不等式 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 33講 不等關(guān)系與不等式 歸納總結(jié) 比較兩個(gè)數(shù)或者式子大小的依據(jù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的順序關(guān)系，即通過差的符號(hào)判斷兩個(gè)數(shù)或者式子的大??；根據(jù)不等式的性質(zhì)，當(dāng) b 0 時(shí)，ab1 ? a b ，ab1? a b ，這樣在一些是由乘積式或者指數(shù)式組成的數(shù)式大小比較時(shí)也可以使用作商比較法；不等式的性質(zhì)是不等式問題的基礎(chǔ)，在使用不等式的性質(zhì)解決問題時(shí)要注意不等式性質(zhì)成立的條件． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 33講 不等關(guān)系與不等式 變式題 ( 1 ) [ 2020 第 33講 不等關(guān)系與不等式 第 34講 一元二次不等式的解法 第 35講 二元一次不等式 (組 )與簡(jiǎn)單的線性 規(guī)劃問題 第 36講 基本不等式 第六單元 不等式 返回目錄 單元網(wǎng)絡(luò) 返回目錄 核心導(dǎo)語 一、不等式的性質(zhì) 不等式的基本性質(zhì)、不等式的運(yùn)算性質(zhì)、兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較． 二、一元二次不等式及其解法 二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集．這三個(gè) “ 二次 ” 關(guān)系是緊密結(jié)合的． 三、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 (1)主要概念 ——約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解． (2)兩種類型 ——一類是不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，另一類是必須先建立模型的含有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題． 返回目錄 核心導(dǎo)語 四、基本不等式 幾個(gè)重要不等式、利用基本不等式求最值 (一正、二定、三相等 ). 返回目錄 1．編寫意圖 根據(jù)不等式在高中數(shù)學(xué)中的地位 (知識(shí)性、工具性 )，高考對(duì)不等式的考查特點(diǎn)和考試大綱的要求，在編寫本單元時(shí)，注意到如下的問題： (1)重視不等式本身的知識(shí)，方法的講解和練習(xí)力度，在第 33講、第 34講、第 36講中對(duì)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式所涉及的知識(shí)和方法進(jìn)行復(fù)習(xí)，以基本的選題和細(xì)致全面的講解組題，以期通過這三講的復(fù)習(xí)使學(xué)生掌握好不等式本身的重要知識(shí)和方法，為不等式的應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)． 使用建議 返回目錄 (2)從高考的客觀情況看，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，是高考必考的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，我們沒有把探究點(diǎn)設(shè)置為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，而是設(shè)置為目標(biāo)函數(shù)的最值 (這樣可以涵蓋線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃 )，含有參數(shù)的平面區(qū)域以及生活中的優(yōu)化問題，這樣在該講就覆蓋了高考考查的基本問題． (3)在各個(gè)講次穿插了不等式的應(yīng)用，但不涉及過度綜合的題目，其目的是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到不等式應(yīng)用的廣泛性，有關(guān)不等式更多的、更綜合的應(yīng)用我們留在其余各講中． 使用建議 返回目錄 2．教學(xué)指導(dǎo) 不等式是知識(shí)和應(yīng)用的結(jié)合體，在復(fù)習(xí)中既要照顧到其基礎(chǔ)性、也要照顧到其應(yīng)用性，具體在教學(xué)中要注意如下幾點(diǎn)： (1)在各講的復(fù)習(xí)中首先要注意基礎(chǔ)性，這是第一位的復(fù)習(xí)目標(biāo)．由于各講的選題偏重基礎(chǔ)，大多數(shù)例題、變式題學(xué)生都可以獨(dú)立完成，在基礎(chǔ)性復(fù)習(xí)的探究點(diǎn)上要發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考完成這些探究點(diǎn)，教師給予適度的指導(dǎo)和點(diǎn)評(píng)． 使用建議 返回目錄 (2)要重視實(shí)際應(yīng)用問題的分析過程、建模過程．應(yīng)用問題的難點(diǎn)是數(shù)學(xué)建模，本單元涉及了較多的應(yīng)用題，在這些探究點(diǎn)上教師的主要任務(wù)就是指導(dǎo)學(xué)生如何通過設(shè)置數(shù)量、變量把實(shí)際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，重視解題的過程． (3)不等式在高考數(shù)學(xué)涉及各個(gè)部分，要循序漸進(jìn)地解決，在本單元中涉及不等式的綜合運(yùn)用時(shí)，我們的選題都很基礎(chǔ)，在這樣的探究點(diǎn)上不要試圖一步到位，不等式的綜合運(yùn)用是整個(gè)一輪復(fù)習(xí)的系統(tǒng)任務(wù)，在本單元只涉及基本的應(yīng)用，不要拔高． 使用建議 返回目錄 3．課時(shí)安排 本單元共 4講，一個(gè) 45分鐘滾動(dòng)基礎(chǔ)訓(xùn)練卷，一個(gè)單元能力檢測(cè)卷，建議除了測(cè)試時(shí)間外， 6個(gè)課時(shí)完成復(fù)習(xí)任務(wù)． 使用建議 第 33講 不等關(guān)系與不等式 雙向固基礎(chǔ) 點(diǎn)面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 1．了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式 (組 )的實(shí)際背景． 2．會(huì)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，掌握不等式的基本性質(zhì)． 考試大綱 一、兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較原理 1 ． 差值比較原理：設(shè) a ， b ∈ R ，則 a ＞ b ? a － b ＞0 ， a ＝ b ? a － b ＝ 0 ， a ＜ b ? ________ ． 2 ． 商值比較原理：設(shè) a ， b ∈ R ＋ ，則ab＞ 1 ? a ＞b ，ab＝ 1 ? a ＝ b ，ab＜ 1 ? ________ ． 第 33講 不等關(guān)系與不等式 —— 知 識(shí) 梳 理 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) a－ b0 ab 二、不等式的基本性質(zhì) 性質(zhì) 1 ： a ＞ b ? ________( 對(duì)稱性 ) ． 性 質(zhì) 2 ： a ＞ b ， b ＞ c ? ________( 傳遞性 ) ． 性質(zhì) 3 ： a ＞ b ? ______________( 可加性 ) ． 性質(zhì) 4 ： a ＞ b ， c ＞ 0 ? _______ ； a ＞ b ， c ＜ 0 ?_______( 可乘性 ) ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 33講 不等關(guān)系與不等式 ba ac a＋ cb＋ c acbc acbc 三、不等式的運(yùn)算性質(zhì) 性質(zhì) 5 ： a ＞ b ， c ＞ d ? _____ __ ___( 加法法則 ) ． 性質(zhì) 6 ： a ＞ b ＞ 0 ， c ＞ d ＞ 0 ? ________( 乘法法則 ) ． 性質(zhì) 7 ： a ＞ b ＞ 0 ， n ∈ N*? ________( 乘方法則 ) ． 性質(zhì) 8 ： a ＞ b ＞ 0 ， n ∈ N ， n ≥ 2 ? ________( 開方法則 ) ． 性質(zhì) 9 ： ab ＞ 0 ， a ＞ b ? ________( 倒數(shù)法則 ) ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 33講 不等關(guān)系與不等式 a＋ cb＋ d acbd anbn n a n b 1a1b —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 33講 不等關(guān)系與不等式 1 ． 兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較 ( 1) 兩個(gè)實(shí)數(shù) a ， b 之間，有且只有 a b ， a ＝ b ，a b 三種關(guān)系中的一種． ( ) ( 2) 若ab1 ，則 a b .( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 33講 不等關(guān)系與不等式 [ 解析 ] ( 1 ) 根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，兩個(gè)實(shí)數(shù)之間只能有 a b ， a ＝ b ， a b 三種關(guān)系中的一種． (