【正文】 23p13p33p。在此情形下，就會(huì)增加 的值，減少 和 。 第四節(jié) 馬氏決策 ???????????P下面我們對(duì)市場(chǎng)占有率進(jìn)行預(yù)測(cè) 設(shè) 表示預(yù)測(cè)對(duì)象 k季度以后的市場(chǎng)占有率，初始分布為 ，市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)模型為 首先，我們有 ，由此，我們可預(yù)測(cè)任意時(shí)期甲、乙、丙三廠家的市場(chǎng)占有率．例如，一周以后的預(yù)測(cè)值為： 第四節(jié) 馬氏決策 ),( )(3)(2)(1)( kkkk pppS ? ),( )0(3)0(2)0(1)0( pppS ? PSPSS kkk ???? ? )1()0()( ),(S )0( ?),(),(PSS )0()1( ????????????? 如果我們按上述公式繼續(xù)逐步求甲、乙、丙三家的市場(chǎng)占有率，會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng) k大到一定的程度， S(k)將不會(huì)有多少改變，即有穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率，設(shè)其穩(wěn)定值為 ，滿足 。不久前，丙公司制定了一項(xiàng)把甲、乙兩公司的顧客吸引到本公司來(lái)的銷售與服務(wù)措施。 決策者選擇 p= )0(u)p1()70(pu)9(u ??? ?????作業(yè)： 某廠要決策是現(xiàn)在還是明年擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模問(wèn)題．由于可能出現(xiàn)的市場(chǎng)需求情況不一樣，預(yù)期利潤(rùn)也不同．已知市場(chǎng)需求有高（ s1 ）、中（ s2 ）、低（ s3 ）三種自然狀態(tài)，各狀態(tài)下的概率及不同方案時(shí)的預(yù)期利潤(rùn)如下一頁(yè)表所示．對(duì)該廠來(lái)說(shuō)損失 1萬(wàn)元效用值為 0，獲利 10萬(wàn)元效用值為 1，對(duì)于以下事件效用值無(wú)差別： ①肯定得 8萬(wàn)或 10萬(wàn)和 1萬(wàn)； ②肯定得 6萬(wàn)或 10萬(wàn)和 1萬(wàn)； ③肯定得 1萬(wàn)或 10萬(wàn)和 1萬(wàn)． 作業(yè)： 求：（ 1）建立效用值表； （ 2）分別根據(jù)效益值和效用值按期望值法確定最優(yōu)策略． 方案 自 然 狀 態(tài) s1 s2 s3 P(s1 )= P(s2 )= P(s3 )= 方案 1 10 8 － 1 方案 2 8 6 1 作業(yè)： 解：（ 1）建立效用值表； 根據(jù)①肯定得 8萬(wàn)或 10萬(wàn)和 1萬(wàn)得： 根據(jù)②肯定得 6萬(wàn)或 10萬(wàn)和 1萬(wàn)得： 根據(jù)③肯定得 1萬(wàn)或 10萬(wàn)和 1萬(wàn)得： 從而效用值表為： **)1()10()8(u ?????? **)1()10()6(u ?????? **)1()10()1(u ??????收益值 r/萬(wàn)元 1 1 6 8 10 效用值 u(r) 0 1 馬氏決策是應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程中馬爾可夫鏈（ Markov chain）的理論和方法來(lái)研究分析時(shí)間序列的變化規(guī)律，并由此預(yù)測(cè)其未來(lái)變化趨勢(shì)的一種預(yù)測(cè)技術(shù)．這種技術(shù)已在市場(chǎng)預(yù)測(cè)分析和市場(chǎng)管理決策中得到廣泛應(yīng)用，下面扼要介紹馬爾可夫鏈的基本原理以及運(yùn)用原理去進(jìn)行市場(chǎng)預(yù)測(cè)的基本方法． 第四節(jié) 馬氏決策 一、馬爾可夫鏈 我們知道，要描述某種特定時(shí)期的隨機(jī)現(xiàn)象如某種商品在未來(lái)某時(shí)期的銷售情況，用一個(gè)隨機(jī)變量 Xn便可以了，但要描述未來(lái)所有時(shí)期的情況，則需要一系列的隨機(jī)變量 X1， X2， … ，Xn， … ．稱 { Xt， t∈ T ， T是參數(shù)集 }為隨機(jī)過(guò)程， {Xt}的取值集合稱為狀態(tài)空間．若 隨機(jī)過(guò)程 {Xt}的參數(shù)為非負(fù)整數(shù)， Xt 為離散隨機(jī)變量，且 {Xt}具有無(wú)后效性（或稱馬爾可夫性），則稱這一隨機(jī)過(guò)程為馬爾可夫鏈（簡(jiǎn)稱馬氏鏈）． 所謂無(wú)后效性，直觀地說(shuō)，就是 { Xt }在將來(lái)取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與過(guò)去的取值無(wú)關(guān)． 第四節(jié) 馬氏決策 對(duì)具有 N個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈，描述它的概率性質(zhì)，最重要的是它在n時(shí)刻處于狀態(tài) i， 下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的一步轉(zhuǎn)移概率： 第四節(jié) 馬氏決策 NjinpiXjXP jinn ,2,1,)()|( 1 ??????若假定上式與 n無(wú)關(guān)，即 ，則可記為 （此時(shí)，稱過(guò)程是 平穩(wěn)的 ），并稱下式為轉(zhuǎn)移概率矩陣． ?? ???? )()1()0( nppp jijijijip ???????????????NNNNNNpppppppppP???????212222111211例 設(shè)某商品銷售情況分“暢銷”和“滯銷”兩種，以“ 1”代表“暢銷”，“ 2”代表“滯銷”．以 Xn表示第 n個(gè)季度的銷售狀態(tài)，則 Xn可以取值 1或 2．若未來(lái)的銷售狀態(tài)，只與現(xiàn)在的市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān)，而與以前的市場(chǎng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，則該商品的市場(chǎng)狀態(tài){Xn， n≥1}就構(gòu)成一個(gè)馬氏鏈．設(shè) 第四節(jié) 馬氏決策 11 ?p ?p ?p ?p， 則轉(zhuǎn)移概率矩陣為 ?????????這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況也可以如右圖所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖來(lái)表示： ② ① 轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì)： （ 1） ．即每個(gè)元素非負(fù)． （ 2） ．即矩陣每行的元素和等于 1． 如果我們考慮狀態(tài)多次轉(zhuǎn)移的情況，則有過(guò)程在 n時(shí)刻處于狀態(tài) i， n+k時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的 k步轉(zhuǎn)移概率： 同樣由平穩(wěn)性，上式概率與 n無(wú)關(guān)，可寫(xiě)成 ．記 k步轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 第四節(jié) 馬氏決策 Njip ji ,2,1,0 ???NipNj ji,2,1,11????? NjinpiXjXP kjinkn ,2,1,)()|( )( ??????)(kjip???????????????)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(kNNkNkNkNkkkNkkkpppppppppP???????例： 求上例中商品的銷售狀態(tài) {Xn}的二步轉(zhuǎn)移矩陣 P(2)． 第四節(jié) 馬氏決策 ， 解 由上例知，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為 : 若本季度該商品的銷售處于暢銷（即處于狀態(tài)“ 1” ），那么，經(jīng)過(guò)兩個(gè)季度以后，就經(jīng)歷了兩次轉(zhuǎn)移，可能轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“ 2”，也可能保持狀態(tài)“ 1”，這種轉(zhuǎn)移的可能性的大小就是二步轉(zhuǎn)移概率． ?????????第四節(jié) 馬氏決策 ， ， ， 解 表示 該商品 的銷售由暢銷經(jīng)兩次轉(zhuǎn)移后仍然是暢銷的概率，由全概率公式 ： 同樣可算得由暢銷經(jīng)兩次轉(zhuǎn)移到滯銷的概率： 由滯銷經(jīng)兩次轉(zhuǎn)移到暢銷和滯銷的概率分別為： )2(11p )1|1(13)2(11 ??? XXPp )2|1()1|2()1|1()1|1( 23122312 ?????????? XXPXXPXXPXXP 21121111 ??????? 22121211)2(12 ??????? )2(21 ??????? ppppp )2(22 ??????? ppppp第四節(jié) 馬氏決策 ， 所以二步轉(zhuǎn)移矩陣為： 由剛才的計(jì)算過(guò)程知： 結(jié)論： 一般地有，若 P為一步轉(zhuǎn)移矩陣，則 k步轉(zhuǎn)移矩陣 ?????????)2(P??????????????????????22221221212211212212121121121111)2(22)2(21)2(12)2(11)2(ppppppppppppppppppppP 22221121122211211 Ppppppppp ??????????????????k)k(NN)k(2N)k(1N)k(N2)k(22)k(21)k(N1)k(12)k(11)k( PpppppppppP ???????????????????????二、市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè) 例：某地區(qū)有甲、乙、丙三家公司銷售同一類型的產(chǎn)品。 （ 3）： 決策者有兩種選擇： :1A以概率 p獲得收益 70萬(wàn)，以概率 (1p)