高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第三章22拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)(參考版)
2024-11-21 23:19本頁(yè)面
【正文】 山東高考改編 )已知拋物線 y2＝ 2px(p＞ 0)，過其焦 點(diǎn)且斜率為 1的直線交拋物線于 A、 B兩點(diǎn)，若線段 AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ________． 解析： 設(shè)點(diǎn) A(x1， y1)，點(diǎn) B(x2， y2)．過焦點(diǎn) F(， 0)且斜率為 1的直線方程為 y＝ x－ ，與拋物線方程聯(lián)立可得 y2－2py－ p2＝ 0. 由線段 AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2，得 y1＋ y2＝ 2p＝ 4. 所以 p＝ 2，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2＝ 4x. 答案： y2＝ 4x p2 1 ．拋物線 y2＝ 2 px 上的點(diǎn) P ( x0， y0) 到焦點(diǎn) F 的距離 ( 焦半徑 ) ： | PF |＝ x0＋p2. 2 ．若過拋物線 y2＝ 2 px 的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) 兩點(diǎn)，則 | AB |＝ x1＋ x2＋ p ( 焦點(diǎn)弦公式 ) ．當(dāng)AB ⊥ x 軸時(shí)， AB 為通徑且 | AB |＝ 2 p . 3 ．解決與焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題：一是注意運(yùn)用焦點(diǎn)弦所在直線方程和拋物線方程聯(lián)立方程組，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題；二是注意焦點(diǎn)弦、焦半徑公式的應(yīng)用，注意整體思想的運(yùn)用． 點(diǎn)擊下圖進(jìn)入“應(yīng)用創(chuàng)新演練” 。 6 . ∵ 6 2 ， ∴ A 在拋物線內(nèi)部． 5．已知拋物線 y2＝ 2x的焦點(diǎn)是 F，點(diǎn) P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn) A(3,2)， 求 |PA|＋ |PF|的最小值，并求出取最 小值時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo)． 設(shè)拋物線上點(diǎn) P 到準(zhǔn)線 l ： x ＝－12的距離為 d ， 由定義知 | PA |＋ | PF |＝ | PA |＋ d ， 由圖可知，當(dāng) PA ⊥ l 時(shí)， | PA |＋ d 最小，最小值為72， 設(shè) P ( x0， y0) ，則 y0＝ 2 ， ∴ x0＝ 2. 故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 2,2) . [ 例 3] (12 分 ) 已知拋物線 y2＝ 2 px ( p 0) ，直線 l 過拋物線焦點(diǎn) F??????p2， 0 與拋物線交于 A 、 B 兩點(diǎn)． 求證：以 AB 為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． [
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