312類比推理北師大版選修1-2(參考版)
2024-11-21 18:06本頁面
【正文】 bn＋ 1bn＋ 1 ， 則 cos2A＋ cos2B＝ 1， 在立體幾何中 ， 給出四面體性質(zhì)的猜想 ． 【 訓練 1】 解 如圖，在 Rt △ ABC 中， c os2 A ＋ c os2B ＝??????ac2＋??????bc2＝ a2＋ b2c2 ＝ 1. 把結(jié)論類比到四面體 P－ ABC中 ， 我們猜想 ， 在三棱錐 P－ ABC中 ， 若三個側(cè)面 PAB， PBC， PCA兩兩互相垂直 ， 且與 底面所成的二面角分別為 α， β， γ， 則 cos2α＋ cos2β＋ cos2γ＝ 1. 題型二 解題方法的類比 【 例 2 】 已知以下過程可以求 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ n 的和． 因為 ( n ＋ 1)2－ n2＝ 2 n ＋ 1 ， n2－ ( n － 1)2＝ 2( n － 1) ＋ 1 ， ? 22－ 12＝ 2 1 ＋ 1 ， 有 ( n ＋ 1)2－ 1 ＝ 2 ( 1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ) ＋ n ， 所以 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ n ＝n2＋ 2 n － n2＝n ? n ＋ 1 ?2. 類比以上過程求 12＋ 22＋ 32＋ ? ＋ n2的和． 求 1＋ 2＋ 3＋ ? ＋ n的和時 ， 用了累加法 ， 整 體求其值 ， 累加前的各式用了平方差公式 ． 類比此過程 ， 猜想求 12＋ 22＋ 32＋ ? ＋ n2時 ， 也用累加法 ． 累加前的式子 用立方差公式表示 ． [思路探索 ] 解 因為 ( n ＋ 1)3－ n3＝ 3 n2＋ 3 n ＋ 1 ， n3－ ( n － 1)3＝ 3( n － 1)2＋ 3( n － 1) ＋ 1 ， ? 23－ 13＝ 3 12＋ 3 1 ＋ 1 ，有 ( n ＋ 1)3－ 1 ＝ 3( 12＋ 22＋ ? ＋ n2) ＋ 3( 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ n ) ＋ n ， 所以 12＋ 22＋ ? ＋ n2＝13????????n3＋ 3 n2＋ 3 n －3 n2＋ 5 n2 ＝2 n3＋
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