第2章-21-222雙曲線的幾何性質(zhì)(參考版)
2024-11-21 15:13本頁面
【正文】 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2 ＝ 2 x2＝－72＜ 0 ， ∴ A 、 B 兩點(diǎn)分別位于雙曲線的左、右兩支上． ∵ x1＋ x2＝－ 2 ， x1 ，與雙曲線交于 A ， B 兩點(diǎn)，試問 A ， B 兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？并求弦 AB 的長． 【解】 雙曲線 3 x2－ y2＝ 3 化為 x2－y23＝ 1 ， 則 a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， c ＝ 2. ∵ 直線 l 過點(diǎn) F2且傾斜角為 4 5 176。1 或 k ＝ 177。2 33時，方程 ( * ) 有兩個相同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交于一個公共點(diǎn)． 綜上所述：當(dāng)－2 33＜ k ＜2 33，且 k ≠ 177。 ( － k2－ 4) ＝ 4 ( 4 － 3 k2) ． ①????? 4 － 3 k2＞ 01 － k2≠ 0 ，即－2 33＜ k ＜2 33，且 k ≠ 177。1 時，直線 l 與雙曲線的漸近線平行，方程化為 2 x ＝ 5 ，故此時方程 ( * ) 只有一個實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交，且只有一個公共點(diǎn)，交點(diǎn)在雙曲線右支上． ( 2 ) 當(dāng) 1 － k2≠ 0 ，即 k ≠ 177。bax ，即 y ＝ 177。 3 x D ． y ＝ 177。3 x B ． y ＝ 177。abx . ( 2 ) 當(dāng)漸近線為 y ＝bax 時，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2 －y2b2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ． ( 3 ) 與雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 共漸近線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2a2 －y2b2 ＝ λ ( λ ≠ 0 ) . 1 ． ( 2 0 1 3 2 . 又 ∵ P 在雙曲線的左支上，故 a － b ＜ 0 ，則有 a － b ＝－ 2. 又 ∵ a2－ b2＝ 1 ，即 ( a － b )( a ＋ b ) ＝ 1 ， ∴ a ＋ b ＝－12. 1 ．通過雙曲線的方程可以討論雙曲線的幾何性質(zhì)，由雙曲線的幾何性質(zhì)也可以得到雙曲線的方程． 2 ．雙曲線的漸近線和離心率都可以描述其“ 張口 ” 的大小、漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)： ( 1 ) 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時，漸近線為 y ＝ 177。 2 . 又 ∵ a2－ b2＝ 1 ， ∴ ( a ＋ b )( a － b ) ＝ 1 ， ∴ a ＋ b ＝ 177。b2a. ∴ | PF1|＝b2a. 由雙曲線對稱性， | PF2|＝ | QF2|且 ∠ PF2Q ＝ 9 0 176。32x ； ( 2 ) 雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 ( 0 ＜ a ＜ b ) 的半焦距為 c ，直線 l 過 ( a, 0) ， (0 ，b ) 兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線 l 的距離為34c . 【思路探究】 ( 1 ) 由漸近線方程能得到 a ， b ， c 的關(guān)系嗎？利用這種關(guān)系能求出離心率嗎 ？ ( 2 ) 由題意你能得到關(guān)于 a ， b ， c 的什么關(guān)系式？ 【自主解答】 ( 1 ) 若焦點(diǎn)在 x 軸上，則ba＝32， ∴ e ＝b2a2 ＋ 1 ＝132； 若焦點(diǎn)在 y 軸上，則ab＝32，即ba＝23， ∴ e ＝b2a2 ＋ 1 ＝133. 綜上可知，雙曲線的離心率為132或133. ( 2 ) 依題意，直線 l ： bx ＋ ay － ab ＝ 0. 由原點(diǎn)到 l 的距離為34c ，得aba2＋ b2＝34c ， 即 ab ＝34c2， ∴ 16 a2b2＝ 3( a2＋ b2)2， 即 3 b4－ 10 a2b2＋ 3 a4＝ 0 ， ∴ 3(
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