【正文】 xij：第 j 個(gè)決策單元第 i 種投入指標(biāo)的投入量， xij0，是 已知數(shù)據(jù) ； yrj：第 j 個(gè)決策單元第 r 種產(chǎn)出指標(biāo)的產(chǎn)出量， yrj 0，是 已知數(shù)據(jù) ； vi：第 i 種投入指標(biāo)的權(quán)系數(shù) (待定 )， vi≥0； ur：第 r 種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù) (待定 )， ur≥0； i=1， 2， … ， m； j=1， 2， … ， n r=1， 2， … ， p 2. C2R 模型及其基本性質(zhì) 投入 產(chǎn)出 決策單元 puuu?21mnmmnnxxxxxxxxx???????212222111211pnppnnyyyyyyyyy???????212222111211 2. C2R 模型及其基本性質(zhì) 對(duì)每個(gè)決策單元，都定義一個(gè)效率評(píng)價(jià)指標(biāo) hj表示第 j個(gè)決策單元所取得的經(jīng)濟(jì)效率，可以適當(dāng)選擇權(quán)系數(shù)，使得 hj≤1。 ?不需要確定投入和產(chǎn)出之間關(guān)系的具體形式，具有黑箱類(lèi)型研究方法的特色。 167。 DEA方法 DEA模型 1. DEA模型概述 ?DEA方法是美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家查思斯和庫(kù)伯教授于 1978年首先提出的，適用于多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出決策單元的相對(duì)有效性評(píng)價(jià)，以相對(duì)效率概念為基礎(chǔ)。 ?DEA方法就是根據(jù)輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)價(jià)決策單元的優(yōu)劣，即所謂評(píng)價(jià)部門(mén)（或單位）間的相對(duì)有效性的方法。 DEA方法 ?常見(jiàn)的投入指標(biāo)： 固定資產(chǎn)原值、流動(dòng)資金平均余額、自籌技術(shù)開(kāi)發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 常見(jiàn)的產(chǎn)出指標(biāo)： 總產(chǎn)值、銷(xiāo)售收人、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動(dòng)生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤(rùn)率等。 167。 ?投入指標(biāo) — 是指決策單元在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和管理活動(dòng)中需要耗費(fèi)的經(jīng)濟(jì)量。 ?決策單元 — 待評(píng)價(jià)的部門(mén)、企業(yè)或時(shí)期。 改善交通環(huán)境 天橋 a1 地道 a2 搬遷 a3 通車(chē) 能力 C1 方便 群眾 C2 基建 費(fèi)用 C3 交通 安全 C4 市容 美觀(guān) C5 167。 例 改善交通環(huán)境 天橋 a1 地道 a2 搬遷 a3 通車(chē) 能力 C1 方便 群眾 C2 基建 費(fèi)用 C3 交通 安全 C4 市容 美觀(guān) C5 圖 層次結(jié)構(gòu)模型 解 ： (1)建立層次結(jié)構(gòu)模型； 例 (2)以總目標(biāo)為準(zhǔn)則，構(gòu)造判斷矩陣 計(jì)算判斷矩陣的最大特征值 λ max= 對(duì)應(yīng)的特征向量 w=(,)T, 計(jì)算 ＝ , 例 同理以 C1， C2， C3， C4， C5為準(zhǔn)則構(gòu)造判斷矩陣，并計(jì)算其最大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。 （三） AHP方法應(yīng)用實(shí)例 專(zhuān)家組擬定 5個(gè)子目標(biāo)作為對(duì)可行方案的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則： C1：通車(chē)能力； C2：方便群眾； C3：基建費(fèi)用不宜過(guò)高； C4：交通安全； C5：市容美觀(guān)。市政府決定解決這個(gè)問(wèn)題．經(jīng)過(guò)有關(guān)專(zhuān) 家會(huì)商研究 ，制定出三個(gè)可行方案： a1： 在商場(chǎng)附近修建一座環(huán)形天橋； a2： 在商場(chǎng)附近修建地下人行通道； a3： 搬遷商場(chǎng)。在實(shí)際計(jì)算中，一般按表格形式計(jì)算較為簡(jiǎn)便。 ③ 層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 根據(jù)實(shí)際情況，用不同方法求解判斷矩陣最大特征值相對(duì)應(yīng)的特征向量，經(jīng)過(guò)歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。這個(gè)優(yōu)先權(quán)重記為： W (a)=(w1(a) ,w2(a) , …, wm(a))T 計(jì)算公式為： 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 2. AHP方法的基本步驟 （總結(jié)） ① 建立層次結(jié)構(gòu)模型 將目標(biāo)準(zhǔn)則體系所包含的因素劃分為不同層次，如目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層等，構(gòu)建遞階層次結(jié)構(gòu)模型。 則第 k層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo) G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為： W (k)=(w1(k) ,w2(k) , …, wnk(k))T 其中： 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 1. 遞階權(quán)重解析公式 ?其次，用公式將遞階權(quán)重解析過(guò)程表示出來(lái)，給出方案層關(guān)于總目標(biāo) G的優(yōu)先權(quán)重向量。 設(shè)已計(jì)算第 k1層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo) G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為： W (k1)=(w1(k1) ,w2(k1) , …, wnk1(k1))T 第 k層子目標(biāo)的個(gè)元素對(duì)以第 k1層的第 j個(gè)元素為準(zhǔn)則的優(yōu)先權(quán)重向量為： Pj (k)=(p1j(k) ,p2j(k) , … , pnk j(k))T 令： P(k)=(p1(k) ,p2(k) , …, pnk1(k))T P(k)是第 k層子目標(biāo) nk個(gè)元素關(guān)于第 k1層 nk1個(gè)元素的優(yōu)先權(quán)重向量構(gòu)成的 nk nk1矩陣。 完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián) 不完全層次結(jié)構(gòu) 第 3層對(duì)第 2層權(quán)向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T 貢獻(xiàn) O 教學(xué) C1 科研 C2 P2 P1 P3 P4 例 : 評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu) P1,P2只作教學(xué) , P4只作科研 , P3兼作教學(xué)、科研 。 G )1(1g)(nnng)(2ng )(1ngsc2c1c 2a1a ma總目標(biāo) n層子目標(biāo) 準(zhǔn)則層 方案層 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 遞階權(quán)重解析： AHP方法的目的，在于求出各方案對(duì)總目標(biāo) G的優(yōu)先權(quán)重，求解過(guò)程從上到下，在相鄰層次之間逐層進(jìn)行，故稱(chēng)為遞階權(quán)重解析。 F(w)有唯一的極小點(diǎn) w*， 且 w*是下列方程組的唯一解： 3. 判斷矩陣的求解 ?目標(biāo)規(guī)劃法 (LGP)：目標(biāo)規(guī)劃法是由 Brynon 提出的， Brynon考慮了人們認(rèn)識(shí)的差異性，通過(guò)引進(jìn)正、負(fù)偏差變量 ， 建立判斷矩陣的元素與權(quán)重的關(guān)系： 3. 判斷矩陣的求解 ?目標(biāo)規(guī)劃法 (LGP) 通過(guò)求解下面優(yōu)化模型，確定方案的權(quán)重。 3. 判斷矩陣的求解 ?梯度特征向量法（ GEM）：設(shè)正互反判斷矩陣為 A，其偽（擬）互反矩陣為 由下面的遞推公式導(dǎo)出排序向量的方法稱(chēng)為梯度特征向量法 。 3. 判斷矩陣的求解 ?對(duì)數(shù)最小二乘法（ LLSM）：對(duì)正互反矩陣，通過(guò)下列最優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)出的排序向量的方法稱(chēng)為對(duì)數(shù)最小二乘法。 3. 判斷矩陣的求解 ?最小二乘法（ LSM）：對(duì)正互反矩陣，通過(guò)下列最優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)出排序向量的方法稱(chēng)為最小二乘法。 定理： 設(shè)矩陣 A＝ (aij)m m0， 則： 　CWeAeeAkTkk???lim其中： W是 A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量 ，C為常數(shù) ， 向量 e＝ (1,1, … ,1)T 冪法 —— 步驟 1） 任取初始正向量 W(0), k=0， 設(shè)置精度 ? )()1(~ kk AW??2） 計(jì)算 ????? ?mikikk WWW1)1()1()1( ~/~3） 歸一化 ????mikikiWWm1)()1(~1?5） 計(jì)算 4） 若 ???? )()1(ma x kikiiWW3. 判斷矩陣的求解 停止；否則 ， k=k+1, 轉(zhuǎn) 2） 3. 判斷矩陣的求解 為了克服隨著判斷矩陣階數(shù)的增加而產(chǎn)生精確求解最大特征值的困難，還可其他近似方法確定方案的權(quán)重。 ???????????14/16/1412/1621A例??????????w??????????????????????Aw)(31 ?????列向量歸一化 行算術(shù)平均 wAw ??精確結(jié)果 :w=(,)T, ?= 一致性檢驗(yàn)： ＝ ， ＝ ， ＝ ＜ 3. 判斷矩陣的求解 根法 —— 取列向量的 幾何平均 ① 計(jì)算判斷矩陣 A的每一行元素之積 ② 計(jì)算 M i 的 m 次 方 根 得 到 向 量 α ＝(α 1,α 2,… ,α m)T （三）判斷矩陣的求解 根法 —— 取列向量的 幾何平均 ③ 對(duì)向量 α 作 歸一化處理得特征向量 W＝(w1,w2,… ,wm)T ),2,11miw mkkii ?????　　?。??④ 求最大特征值 ? ?　???mi iiwAWm1max1? ???????????14/16/1412/1621A例??????????212w??????????????????????Aw)(31 ?????每行元素之積 歸一化 wAw ??一致性檢驗(yàn)： ＝ ， ＝ ， ＝ ＜ 三 次方根 ?????????? 3. 判斷矩陣的求解 冪法 —— 逐步迭代的方法 經(jīng)過(guò)若干次迭代計(jì)算，按照規(guī)定的精度，求出判斷矩陣 A的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。 ?簡(jiǎn)化計(jì)算的思路 —— 一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。 （ 1） 求出判斷矩陣的一致性指標(biāo) 3. 判斷矩陣的求解 ?構(gòu)造了判斷矩陣，就要求解出判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，才能進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 ?一般認(rèn)為，當(dāng) ≤，判斷矩陣符合滿(mǎn)意的一致性標(biāo)準(zhǔn)，層次單排序的結(jié)果是可以接受的，否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗(yàn)通過(guò)。 （ 1） 判斷矩陣的一致性指標(biāo) 2. 判斷矩陣的一致性檢驗(yàn) （ 2）平均隨機(jī)一致性指標(biāo) ： 是足夠多個(gè)根據(jù)隨機(jī)發(fā)生的判斷矩陣計(jì)算的一致性指標(biāo)的平均值（表 ）。反之，偏離一致性越小。 2. 判斷矩陣的一致性檢驗(yàn) ?判斷矩陣 A是互反正矩陣，故 λmax≥m ； ?當(dāng) A是一致性矩陣時(shí)： λmax＝ m ，且其余的特征值為 0； ?A具有滿(mǎn)意的一致性： λmax略大于 m，其余的特征值接近于 0； 設(shè) λ1 ， λ2 ， … ， λm是 A的全部特征值，則： λ1 ＋ λ2 ＋ … ＋ λm＝ tr(A)=m 設(shè) λ1=λmax，則： 2. 判斷矩陣的一致性檢驗(yàn) ?一般來(lái)說(shuō)， 越大，偏離一致性越大，反之，偏離一致性越小。 1— 9標(biāo)度方法 標(biāo)度 定義 含義 1 同樣重要 兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元 素同樣重要 3 稍微重要 兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元 素稍微重要 5 明顯重要 兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元 素明顯重要 7 強(qiáng)烈重要 兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元 素強(qiáng)烈重要 9 極端重要 兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元 素極端重要 8 相鄰標(biāo)度中值 表示相鄰兩標(biāo)度之間折中時(shí)的標(biāo)度 上列標(biāo)度倒數(shù) 反比較 元素 i對(duì)元素 j的標(biāo)度為 aij， 元素 j對(duì)元素 i的標(biāo)度為 1/aij 2. 判斷矩陣的一致性檢驗(yàn) ?1— 9標(biāo)度方法構(gòu)造的判斷矩陣 A一定是互反正矩陣； ?但 A不一定是一致性矩陣，實(shí)際中，很難構(gòu)造出具有完全一致性的矩陣； ?只有判斷矩陣 A具有完全的一致性時(shí)，才有唯一非零的最大特征值，其余特征值為 0，層次單排序才能歸結(jié)為判斷矩陣 A的最大特征值及其特征向量，才能用特征向量的各分量表示優(yōu)先權(quán)重。 定理 2： 設(shè) A＝ (aij )m m是互反正矩陣， λmax是 A的最大特征值，則 λmax≥m。 定義 4： 設(shè)有矩陣 A＝ (aij )m m ＞ 0，若 A滿(mǎn)足： aij=aik /ajk , i, j, k=1, 2, … , m 則稱(chēng) A為一致性矩陣 。 定義 2： 設(shè)有 m維列向量 X＝ (x1, x2, …, xm)T （ 1）若 xj≥0 (j=1, 2, …, m)，則稱(chēng) X為非負(fù)向量，記作 X≥0； （ 2）若 xj＞ 0 (j=1, 2, …, m)，則稱(chēng) X為正向量，記作 X＞ 0。 物體測(cè)重問(wèn)題的 啟示 ? 從對(duì)物