【正文】 xxxxxxtsxxxf 167。 化多為少方法 線性加權和法 ?給目標 fi(x)賦以權系數(shù) λi（ i=1, 2, …, m） 然后作新的目標函數(shù) ? ???mi iixfxU1)()( ?構成單目標決策問題： XxtsxfxUmiii?? ???　..)()(max1?難點： 如何使多個目標用同一尺度統(tǒng)一起來（ 多種方法在下一章中介紹 ， 可以將各目標統(tǒng)一作效用值度量 ） ；如何選擇合理的權系數(shù) 。 線性加權和法 1. α— 法 以兩個目標的多目標決策問題為例 ? ?Xxtsxfxf T?　..)(),(max 21記： )(),()()(max)()(max)1(202)2(101)2(22*2)1(11*1xffxffxfxffxfxffXxXx????????（ 即 x(1)、 x(2)分別為以 f1(x)和 f2(x)目標的單目標問題的最優(yōu)解 ） 線性加權和法 1. α— 法 化作單目標決策問題 ? ?Xxtsxfxf T?　..)(),(max 21要求： XxtsxfxfxU???　..)()()(max 2211 ??c1是任意的非零常數(shù) 。 1*220111022*11cffcff????????即可確定權系數(shù) 。 若進一步要求 α1+ α2=1， 可得： 0201*2*101*120201*2*102*21ffffffffffff???????????? 例 設有多目標決策問題 其中： ? ???????????0,342..)(),(max21212121xxxxxxtsxfxfT　試用 α— 法化為單目標決策問題 。 21221123)(4)(xxxfxxxf?????解： 先分別求解 ?????????????0,342..4)(max212121211xxxxxxtsxxxf　????????????0,342..23)(max212121212xxxxxxtsxxxf　得： x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T 例 x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T 則： 0,76,002*201*1?????ffff對目標進行線性加權： ????????????0,342..1351310)(max21212121xxxxxxtsxxxU?。?1221123)(4)(xxxfxxxf?????1361370201*2*101*120201*2*102*21????????????ffffffffffff??2122111351310)()()(xxxfxfxU?????　　　??化為單目標問題： 線性加權和法 2. λ— 法 對多目標決策問題 ? ?Xxtsxfxfxf Tm?　..)(,),(),(max 21 ??。? )(max1 **xfff iXxiii ??? ，?化為單目標決策問題： XxtsxfxUmiii?? ???　..)()(max1?適用條件： fi*≠ 0 167。 化多為少方法 平方和加權法 ?要求目標 fi(x)與規(guī)定值 fi*相差盡量小（ i=1, 2, …, m）， 可構造目標函數(shù)： ? ? 21*)()( ? ????mi iiifxfxU ?構成單目標決策問題： ? ?XxtsfxfxUmiiii?? ????　..)()(min12*?λi — 權 系數(shù) ， 可按要求的相差程度分 別給 出 。 167。 化多為少方法 理想點法 ?記： ? ? TmfffF **2*1* , ??稱 ? ?XxtsfxfxUmiii?? ???　..])([)(min 2112*mixfxff iiXxi ,2,1)()(max )(1* ???? ? 　為理想點 。 ?若所有 x(i)都相同 ， 記為 x(0)， 則 x(0)就是所求的多目標決策問題的最優(yōu)解；若不然 ， 則考慮求解下面的單目標決策問題： 例 x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T 用理想點法化為單目標決策問題 7,0 *2*1 ?? ff????????????????0,342..])723()4[()(min21212121221221xxxxxxtsxxxxxU　21221123)(4)(xxxfxxxf?????212212212122*])723()4[(]))(([)(??????? ???xxxxfxfxUiii構造目標函數(shù) 167。 化多為少方法 步驟法（ STEM法） ?是逐步迭代的方法，也稱逐步進行法、對話式方法。 ?在求解過程中，每進行一步，分析者就把計算結果告訴決策者，決策者對計算結果作出評價。若認為已滿意了，則迭代停止；否則分析者再根據(jù)決策者的意見進行修改和再計算，如此直到求得決策者認為滿意的解為止。 步驟法（ STEM法） 設有多目標線性規(guī)劃問題： ? ?矩陣是，　 nmAxbxAtsxfxfxfxFTk????????0..)(,),(),()(max21?其中 kixcxcxfnjjijii,2,1)(1??? ????? 步驟法（ STEM法） STEM法的求解步驟： ① 分別求解 k個單目 ② 標線性規(guī)劃問題 kixbxAtsxfi,2,10..)(max????????　 得到的最優(yōu)解記為 x(i)，其相應的目標函數(shù)值記為 fi*（ i=1, 2, …, k），并 x(i)代入其它目標函數(shù)： )( )( ijij xfz ?結果可列表給出（稱為支付表）。 STEM法 支付表 x(i) f1 f2 … fj … fk x(1) z11 z21 … zj1 … zk1 … … … … … … … x(i) z1i z2i … zji … zki … … … … … … … x(k) z1k z2k … zjk … zkk 步驟法（ STEM法） STEM法的求解步驟： ② 求權系數(shù)：從支 ③ 付表中得到 ijkijj zff ??? 10* min　和　 為找出目標值的偏差以及消除不同目標值的量綱不同的問題，進行如下處理 ： ????????????????????0)(10)(1*1200*120*injijiiiinjijiiiifcffffcfff　　　　　?。?歸一化后得權系數(shù)： kikjiii,2,11???????? 步驟法（ STEM法） STEM法的求解步驟： ③ 求解 ?????????　　　　　　　　　　0,2,1))((..min*xbxAkixfftsiii????（使目標與理想值的最大加權偏差 λ最?。? 該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解記為 x0 。 步驟法（ STEM法） STEM法的求解步驟： ④ 將 x0 和相應的目標值 ),(,),(),( 00201 xfxfxf k?交給決策者判斷。 決策者把這些目標值與理想值進行比較后，若認為滿意了，則可停止計算；若認為相差太遠，則考慮適當修正 。 如：考慮對第 r個目標讓一點步，降低一點目標值 △ fr 。 步驟法（ STEM法） STEM法的求解步驟： ⑤ 求解 ???????????????　　　　　　　　　　0,)()(,2,1))((..min0*xbxAfxfxfrikixfftsrrriii???? 求得解后，再與決策者對話，如此重復，直至決策者認為滿意了為止。 例 某公司考慮生產(chǎn)甲、乙兩種太陽能電池，生產(chǎn)過程會在空氣中引起放射性污染，因此決策者有兩個目標：極大化利潤與極小化總的放射性污染。已知在一個生產(chǎn)周期內，每單位甲產(chǎn)品的收益是 1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是 3元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是 ，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是 1單位，由于機器能力（小時）、裝配能力（人時）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是（ x x2分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量）： 例 該問題的目標函數(shù)為： ??????????????　　　　　　　　　，　?。ㄔ牧希。ㄑb配能力）（機器能力）　0725..21212121xxxxxxxxts（放射性污染最?。ɡ麧欁畲螅?12211)(max3)(maxxxxfxxxf????? 例 STEM法求解 ① 先分別求解 ????????????????　　　　，　　　0725..3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf?????????????????　　　　，　　　0725..)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf得： x(1)=(, )T， x(2)=(0, 0)T f1*=， f2*=0 例 STEM法 支付表 f1 f2 x(1)=(, )T － x(2)=(0, 0)T 0 0 212211)(3)(xxxfxxxf????? 例 STEM法求解 ② 求權系數(shù)：從 ③ 支付表中得到 ,00,02*201*1－　　　　????ffff1)(1311)(12212*022212*0*1＝＋－－－＝＝＝＋－＝＝＊??????????njijiiinjijiiicfffcfff??歸一化后得權系數(shù)： ,21 ?? ?? ， 例 STEM法求解 ③ 求解 ???????????????????????0725)()(..min212121212121xxxxxxxxxxxxts