【正文】 海灘 建筑 運行 城市關(guān)系 交通關(guān)系 資源 環(huán)保 政策 軍事 …… …… …… 167。 如何解決這一問題？ ?通常將難以進行直接評價和比較的目標分解 為若干子目標，直至這些子目標能用一個或幾個決策準則進行評價和比較。 ?實際問題常常有多個決策目標，每個目標的評價準則往往也不是只有一個，而是多個 —多目標、多準則決策問題 。第六章 多目標決策分析 廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 運籌管理系 第六章 多目標決策分析 ?在決策分析中，決策問題要達到的目的稱為決策目標 ，用數(shù)值表示決策方案實現(xiàn)某個目標程度的標準和法則，稱為 決策準則 。 167。 例：某經(jīng)濟特區(qū)計劃興建一個大型海港 港址的選擇需要綜合考慮 經(jīng)濟、技術(shù)、環(huán)境以及社會 四個方面。 多目標決策的目標準則體系 目標準則體系的意義 ?目標準則體系 指依據(jù)決策主體要求和實際情況需要，對目標經(jīng)過逐層分解形成的多層次結(jié)構(gòu)的子目標系統(tǒng)。 ?可比性原則 不同系統(tǒng)的橫向比較；同一系統(tǒng)的縱向動態(tài)比較。 特點： 各子目標可按序列關(guān)系分屬各類目標，不同類別的目標準則之間不發(fā)生直接聯(lián)系；每個子目標均由相鄰上一層的某個目標分解而成。 ?效用函數(shù)正是一種統(tǒng)一的數(shù)量標度。 目標準則體系風(fēng)險因素的處理 ?單目標風(fēng)險型決策中，各備選方案看成是在整體上處于同一類狀態(tài)空間的。 167。 ④ 試對廠家生產(chǎn)作出決策分析。 ?目標規(guī)劃的基本方法 ?對每一個目標函數(shù)引進一個期望值； ?引入正、負偏差變量，表示實際值與期望值的偏差，并將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件，與原有約束條件構(gòu)成新的約束條件組； ?引入目標的優(yōu)先等級和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造新的單一的目標函數(shù)，將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題求解。 167。 目標規(guī)劃方法 在 例 ， 令： d1+, d1分別表示乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差超過和達不到目標值的偏差變量； d2+, d2分別表示生產(chǎn)工時超過和達不到目標值的偏差變量； d3+, d3分別利潤超過和達不到目標值的偏差變量； 則三個目標可化 為含有偏差變量 的約束條件 167。 注： 目標規(guī)劃模型的目標函數(shù)是對各目標的偏差的綜合（將多目標化為單目標），在目標函數(shù)中 不包含原決策變量 ，且一定是 極小型的（偏差最?。? 目標規(guī)劃方法 目標規(guī)劃的一般模型 167。 處理方法： （ 1） 化為一個單目標問題 （ 2） 化為多個單目標問題 。主要目標要求達到最優(yōu)。 由主要目標法可得到單目標規(guī)劃問題： ??????????????????????　　　　　，　　　　　　　（利潤最大）0923202306004003001032404920234..01207)(max212121212121212xxxxxxxxxxxxtsxxxf 167。 若進一步要求 α1+ α2=1， 可得： 0201*2*101*120201*2*102*21ffffffffffff???????????? 例 設(shè)有多目標決策問題 其中： ? ???????????0,342..)(),(max21212121xxxxxxtsxfxfT　試用 α— 法化為單目標決策問題 。 化多為少方法 理想點法 ?記： ? ? TmfffF **2*1* , ??稱 ? ?XxtsfxfxUmiii?? ???　..])([)(min 2112*mixfxff iiXxi ,2,1)()(max )(1* ???? ? 　為理想點 。若認為已滿意了，則迭代停止；否則分析者再根據(jù)決策者的意見進行修改和再計算，如此直到求得決策者認為滿意的解為止。 決策者把這些目標值與理想值進行比較后，若認為滿意了，則可停止計算；若認為相差太遠，則考慮適當修正 。已知在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是 1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是 3元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是 ，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是 1單位，由于機器能力（小時）、裝配能力（人時）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是（ x x2分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量）： 例 該問題的目標函數(shù)為： ??????????????　　　　　　　　　，　?。ㄔ牧希。ㄑb配能力）（機器能力）　0725..21212121xxxxxxxxts（放射性污染最?。ɡ麧欁畲螅?12211)(max3)(maxxxxfxxxf????? 例 STEM法求解 ① 先分別求解 ????????????????　　　　，　　　0725..3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf?????????????????　　　　，　　　0725..)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf得： x(1)=(, )T， x(2)=(0, 0)T f1*=， f2*=0 例 STEM法 支付表 f1 f2 x(1)=(, )T － x(2)=(0, 0)T 0 0 212211)(3)(xxxfxxxf????? 例 STEM法求解 ② 求權(quán)系數(shù)：從 ③ 支付表中得到 ,00,02*201*1－　　　　????ffff1)(1311)(12212*022212*0*1＝＋－－－＝＝＝＋－＝＝＊??????????njijiiinjijiiicfffcfff??歸一化后得權(quán)系數(shù)： ,21 ?? ?? ， 例 STEM法求解 ③ 求解 ???????????????????????0725)()(..min212121212121xxxxxxxxxxxxts，???最優(yōu)解為 x0=(0, )T, f1(x0)=, f2(x0)= 212211)(3)(xxxfxxxf????? 例 STEM法求解 ④ 將 x0=(0, )T, f1(x0)=, f2(x0)= 交給決策者判斷。 167。 多維效用并合模型 設(shè)多目標決策方案有 m個可行方案： a1， a2， ...， am 有 s個評價準則，測定和計算 s個評價準則的效用函數(shù)為： u1， u2， ...， us 得到這 m個可行方案在 s個評價準則下的效用值分別是： u1(ai )， u2(ai ) ， ...， us(ai ) (i=1， 2， ...， m) 多維效用并合模型 ?多維效用并合方法 ?為了從總體上表示可行方案 ai 的總效用，需要 通過某種特定的方法和邏輯程序 ，將 s個分效用合并為總效用，并依據(jù)各可行方案的總效用對其進行排序。 最低一層各準則的效用，經(jīng)過并合得到： 符號 “ ● ” 表示按某種規(guī)則和邏輯程序進行的效用并合運算 。 多維效用并合規(guī)則 ?多維效用函數(shù)與多維效用曲面 ?設(shè)效用 u1， u2， ...， un 分別在區(qū)間 ［ 0， 1］ 上取值， n元連續(xù)函數(shù) W=W(u1， u2， ...， un)稱為 n維效用函數(shù) 。 多維效用并合規(guī)則 1. 距離規(guī)則 稱滿足以下條件的并合規(guī)則為距離規(guī)則： ?當二效用同時達到最大值時，并合效用達到最大值 1，即： W(1， 1)=1； ?當二效用同時取最小值時，并合效用取零效用值 (最小值 )，即： W(0， 0)=0 ； ?二效用之一達到最大值，均不能使并合效用達到最大值，即： 0W(u1， 1)1， 0≤u11 0W(1， u2)1， 0≤u21 1. 距離規(guī)則 ?二維效用平面上其余各點效用值，與 該點與并合效用最大值點的距離 d 成正比例。即： W(1， 1)=1， W(0， 0)=0 若： W(1， 0)=ρ1 ， W(0， 1)= ρ2 則有： ρ1 + ρ2 =1 3. 加法規(guī)則 推廣到多維情形， n維效用并合的加法規(guī)則公式為： 加法規(guī)則下的二維效用函數(shù)為： 4. 乘法規(guī)則 乘法規(guī)則適用于如下情況： ?二目標效用對于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代，只要其中任意一個目標效用值為 0，無論另一個目標效用取值多大，并合效用值均為 0。 推廣到多維情形， n維效用并合的混合規(guī)則公式為： 5. 混合規(guī)則 當 γ ≠ 0時 ， ()可以化為較為規(guī)范的形式： 當 γ = 1時 ， 化為代換規(guī)則形式； 當 γ =0， 且 c1+c2=1時 ， 化為加法規(guī)則形式； 當 γ 0時 ， 近似于乘法規(guī)則形式： 多維效用并合方法應(yīng)用實例 多維效用并合方法是多目標決策的一種實用方法，在經(jīng)濟管理、項目評價、能源規(guī)劃、人口控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。 例：“我國總?cè)丝谀繕恕? 各國 對比 u9 我國人口總目標 H V1 V2 吃用 v1 實力 v2 用 w2 吃 w1 糧食 u1 魚肉 u2 空氣 u4 水 u5 能源 u6 土地 u3 最低總和 生育率 u8 GNPu7 目標準則體系 例：“我國總?cè)丝谀繕恕? 效用并合 u1（ 糧食 ） 、 u2（ 魚肉 ） 并合為 w1宜用乘法規(guī)則： w1＝ u1 u8 u8（ βmin）、 u9（各國對比） 并合為 V2宜用乘法規(guī)則 V2＝ u8 v1 + (1 α) ?是一種定性與定量相結(jié)合的多目標決策分析方法。 ?將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個層次，同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。 ③ 最低層： 表示實現(xiàn)各決策目標的可行方案、措施等，也稱為方案層。目的：避免模型中存在過多元素而使主觀判斷比較有困難。這一過程稱為 遞階層次權(quán)重解析過程 。 物體測重問題的 啟示 ?若一組物體無法直接測出其重量，但可以通過兩兩比較判斷，得到每對物體相對 重量的判斷值，則可構(gòu)造判斷矩陣 (A),求解判斷矩陣的最大特征值和向量對應(yīng)的特征向量，就可以得到這組物體的相對重量。 定義 2： 設(shè)有 m維列向量 X＝ (x1, x2, …, xm)T （ 1）若 xj≥0 (j=1, 2, …, m)，則稱 X為非負向量，記作 X≥0； （ 2）若 xj＞ 0 (j=1, 2, …, m)，則稱 X為正向量，記作 X＞ 0。 定理 2： 設(shè) A＝ (aij )m m是互反正矩陣， λmax是 A的最大特征值，則 λmax≥m。 2. 判斷矩陣的一致性檢驗 ?判斷矩陣 A是互反正矩陣，故 λmax≥m ； ?當 A是一致性矩陣時： λmax＝ m ，且其余的特征值為 0； ?A具有滿意的一致性： λmax略大于 m，其余的特征值接近于 0； 設(shè) λ1 ， λ2 ， … ， λm是 A的全部特征值，則： λ1 ＋ λ2 ＋ … ＋ λm＝ tr(A)=m 設(shè) λ1=λmax，則： 2. 判斷矩陣的一致性檢驗 ?一般來說， 越大，偏離一致性越大，反之，偏離一致性越小。 （ 1） 判斷矩陣的一致性指標 2. 判斷矩陣的一致性檢驗 （