【正文】 ， ∴△FCD 是直角三角形． ∵ 正方形 ADEF的邊長為 2 且對角線 AE、 DF相交于點(diǎn) O． ∴DF= AD=4， O為 DF中點(diǎn)． ∴OC= DF=2． 【點(diǎn)評】 本題考查了正方形與全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，證明三角形全等是關(guān)鍵． 26．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為 C（﹣ 1，﹣ 1），且經(jīng)過點(diǎn) A、點(diǎn) B和坐標(biāo)原點(diǎn) O，點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為﹣ 3． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) D為拋物線上的一點(diǎn)， 點(diǎn) E為對稱軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn) A、 O、 D、 E為 頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點(diǎn) D的坐標(biāo)； （ 3）若點(diǎn) P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P作 PM⊥x 軸，垂足為 M，是否存在點(diǎn) P，使得以 P、 M、 A為頂點(diǎn)的三角形與 △BOC 相似？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【專題】 綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式解析式，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求出 a的值，即可確定出拋物線解析式； （ 2）分三種情況考慮， D 在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo) 與圖形性質(zhì)求出 D坐標(biāo)即可； （ 3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù) B 橫坐標(biāo)為﹣ 3，代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)，確定出 B坐標(biāo)，進(jìn)而求出 BC， BO， OC 的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形 BOC 為直角三角形，若 P、 M、 A為頂點(diǎn)的三角形與 △BOC 相似，設(shè) P（ m， n），由題意得 m＞ 0， n＞ 0，且 n=m2+2m，根據(jù)相似得比例，列出關(guān)于 m的方程，求出方程的解得到 m的值，進(jìn)而求出 n的值，即可確 定出 P的坐標(biāo)． 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物線的頂點(diǎn)為 C（﹣ 1，﹣ 1）， ∴ 設(shè)拋物線的解析式為： y=a（ x+1） 2﹣ 1， ∵ 拋物線經(jīng)過（ 0， 0）， ∴ 將 x=0， y=0代入拋物線解析式得： 0=a﹣ 1， 解得： a=1， ∴y= （ x+1） 2﹣ 1=x2+2x， 令 y=0時(shí)， x2+2x=0， 解得 x1=0， x2=﹣ 2， ∴A （﹣ 2， 0）； （ 2）如圖所示，分三種情況考慮： 當(dāng) D1在第一象限時(shí)，若四邊形 AOD1E1為平行四邊形， ∴AO=E 1D1=2， ∵ 拋物線對稱軸為直線 x=﹣ 1， ∴D 1橫坐標(biāo)為 1， 將 x=1代入拋物線 y=x2+2x=1+2=3，即 D1（ 1， 3）； 當(dāng) D2在第二象限時(shí)，同理 D2（﹣ 3， 3）； 當(dāng) D3在第三象限時(shí)，若四邊形 AE2OD3為平行 四邊形，此時(shí) D3與 C重合，即 D3（﹣ 1，﹣ 1）； （ 3）存在， ∵ 點(diǎn) B在拋物線上， ∴ 當(dāng) x=﹣ 3時(shí)， y=9﹣ 6=3， ∴B （﹣ 3， 3）， 根據(jù)勾股定理得： BO2=9+9=18； CO2=1+1=2； BC2=16+4=20， ∴BO 2+CO2=18+2=20， ∴BO 2+CO2=BC2， ∴△BOC 為直角三角形， 假設(shè)存在點(diǎn) P，使得以 P、 M、 A為頂點(diǎn)的三角形與 △BOC 相似， 設(shè) P（ m， n），由題意得 m＞ 0， n＞ 0，且 n=m2+2m， ① 若 △AMP∽△BOC ，則 = ，即 = ， 整理得： m+2=3（ m2+2m） =0，即 3m2+5m﹣ 2=0， 解得： m1= ， m2=﹣ 2（舍去）， m1= 時(shí)， n= + = ， ∴P （ ， ）； ② 若 △AMP∽△COB ，則 = ，即 = ， 整理得： m2﹣ m﹣ 6=0， 解得 m1=3， m2=﹣ 2（舍去）， 當(dāng) m=3時(shí)， n=9+6=15， ∴P （ 3， 15）， 綜上所述，符合條件的點(diǎn) P有兩個(gè)，分別是 P1（ ， ）， P2（ 3， 15）． 【點(diǎn)評】 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求拋物線解析式 ，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，分類討論時(shí)注意考慮問題要全 。 ， ∴∠ACF=∠ABD=135176。 ﹣ ∠BAF ， ∴∠BAD=∠CAF ， ∵ 在 △BAD 和 △CAF 中， ∴△BAD≌△CAF （ SAS）， ∴∠ACF=∠ABD ， ∵∠ABC=45176。 ， ∵∠BAD=90176。 ， ∴∠ACB=∠ABC=45176。 ﹣ ∠DAC ， ∴∠BAD=∠CAF ， 則在 △BAD 和 △CAF 中， ， ∴△BAD≌△CAF （ SAS）， ∴BD=CF ， ∵BD+CD=BC ， ∴CF+CD=BC ； （ 2） CF﹣ CD=BC； （ 3） ①CD ﹣ CF=BC ②∵∠BAC=90176。 ， ∵∠BAD=90176。 ， ∴∠ACB=∠ABC=45176。 ，點(diǎn) D為直線 BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) D不與點(diǎn) B，C重合）． 以 AD為邊作正方形 ADEF，連接 CF （ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) D在線段 BC 上時(shí)．求證： CF+CD=BC； （ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長線上時(shí)，其他條件不變，請直接寫出 CF， BC， CD 三條線段之間的關(guān)系； （ 3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) D在線段 BC的反向延長線上時(shí)，且點(diǎn) A， F分別在直線 BC的兩側(cè)，其他條件不變； ① 請直接寫出 CF， BC， CD三條線段之間的關(guān)系； ② 若正方形 ADEF的邊長為 2 ，對角線 AE， DF 相交于點(diǎn) O，連接 OC．求 OC的長度． 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1） △ABC 是等腰直角三角形，利用 SAS即可證明 △BAD≌△CAF ，從而證得 CF=BD，據(jù)此即可證得； （ 2）同（ 1）相同，利用 SAS即可證得 △BAD≌△CAF ，從而證得 BD=CF，即可得到 CF﹣ CD=BC； （ 3）首先證明 △BAD≌△CAF ， △FCD 是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得 DF的長，則 OC即可求得． 【解答】 證明：（ 1） ∵∠BAC=90176。= ， ∴OE=2 =3， ∵S △ONC = NC?OE= 2 3=3 ， S 扇形 = =2π ， ∴S 陰影 =S 扇形 ﹣ S△ONC =2π ﹣ 3 ． 【點(diǎn)評】 此題考查了切線的判定、扇形的面積以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 25．已知，在 △ABC 中， ∠BAC=90176。 ， ∵ON=OC ， ∴△ONC 是等邊三角形， ∴∠N OC=60176。 ， ∴AC⊥PC ， ∵AC 為 ⊙O 直徑， ∴PC 是 ⊙O 的切線； （ 2）連接 ON， ∵AB=AC ， ∠BAC=60176。 ， ∵AB=AC ， AN⊥BC ， ∴∠BAN=∠CAN ， ∵∠CAB=2∠BCP ， ∴2∠CAN=2∠BCP ， ∴∠CAN=∠BCP ， ∴∠BCP+∠ACB=90176。 ，可得