【正文】 Fxy 第 3章 空間力系 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影 平面上力對(duì)一點(diǎn)之矩，實(shí)際上為力使物體對(duì)過該點(diǎn)與平面。 力的解析表達(dá)式為： x y zF F i F j F k? ? ?zzF F k?yyF F j?xxF F i?分力與投影之間的關(guān)系： x z ? F y O ? 已知力 F 與 z 軸夾角 ? ，以及在與該軸垂直平面上的投影與另一軸的夾角 ?。 第 3章 空間力系 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影 力對(duì)軸之矩 空間力系的平衡方程 重心 本 章 目 錄 第 3章 空間力系 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影 力在空間直角坐標(biāo)系中的表示： ? x z y ? ? O F ? x z y ? O F 直接投影法 已知力與 x、 y、 z 軸夾角 ?、 ?、 ?。 (3) 校核。 3．列平衡方程 (1) 列出恰當(dāng)?shù)?、必要的平衡方程。?duì)于復(fù)雜鉸，要明確所選對(duì)象中是否包括該銷釘 ? (3) 受力分析的關(guān)鍵在于正確畫出鉸鏈和固定鉸支座的約束反力，除二力構(gòu)件兩端外，反力通常用正交分力表示。 2．受力分析 (1) 首先從 二力構(gòu)件 入手，可使受力圖比較簡單，有利于解題。再以物體系中相關(guān)部分為研究對(duì)象。 FAx C FCx FCy A FAy 0xF ?? FAx 0yF ?? FAy (1) 盡量選擇 受力情況較簡單 而且獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)與未知量的 個(gè)數(shù)相等 的物體系或某些物體為研究對(duì)象。 解： （ 2）研究對(duì)象：整體 ? ? 0AM? ? 0yF? ? 0xF? ? 0CM（ 1）研究對(duì)象： CD FB BF s in l??60lql? ? ?20?F c o s l??3 0 2C30 ? FDBq60 ?F BF CyF CxFAx =0 － FBcos60? － Fsin30? FAy =0 +FBsin60? － Fcos30? － q 2l mA =0 +FBsin60? 3l － Fcos30? 4l － q 2l l － m FAx FAy mA 例題 214 已知三角拱的重力及載荷和幾何尺寸，求 鉸鏈 A出的相互作用力和固定鉸支座 B 、 C 的約束力。 受力分析： 先分析整體受力 30 ?M FDC Bql l l l60 ?A例 213 已知 F＝ 20kN， q＝ 10kN/m， m＝ 20kN m， l＝ 1m。 60? FB F 30? q FCy FCx 解： C D B FAx FAy FB mA 解題方案： CD和整體 整體上 4個(gè)要求的力，在 相關(guān) 的受力圖上若能求出其中 1個(gè)力，即可求其它力。已知 F＝ 20kN， q＝ 10kN/m，m＝ 20kN m， l＝ 1m。求： (1) m； (2) O點(diǎn)約束力； (3) AB受的力； (4)沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。 OA＝ R， AB＝l。為簡便起見，二力桿的受力圖可以不畫。 m F θ A B F’B F’A FN m FOx FOy FA 解： θ FN FOy FOx FB θ （方案 2） 沖頭 B和整體 （方案 1） 沖頭 B和輪 全面進(jìn)行受力分析， 確定解題方案。當(dāng) OA水平、沖壓力為 F時(shí)系統(tǒng)處于平衡。 靜定與靜不定的概念 物體系統(tǒng)的平衡 物體系統(tǒng)的平衡 F 例 212 曲軸沖床由輪 I、連桿 AB和沖頭 B組成。 若物體系的未知量多于 3n個(gè) ,問題不可解，則為靜不定系統(tǒng)。若物體系的未知量個(gè)數(shù)為 3n個(gè)，問題可解，物體系為靜定系統(tǒng)。 Ｐ 1 Ｐ 2 靜定與靜不定的概念 物體系統(tǒng)的平衡 靜定與靜不定的概念 物體系平衡時(shí) ,構(gòu)成物體系的 每部分都處于平衡 。 實(shí)例 靜不定問題 （超靜定問題）：未知量不能全部由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜不定問題或超靜定問題。 特點(diǎn)： 結(jié)構(gòu)中的未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。 靜定與靜不定的概念 物體系統(tǒng)的平衡 P A C B B q E D C A 靜定與靜不定的概念 靜定問題： 所有未知量都能由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。當(dāng)物體處于平衡時(shí)，試求水平力 F1的大小。 x 有向上滑動(dòng)趨勢 F1max ? Fmax FN y P O ? ? 100x m a x m a xF F c o s P s i n F??? ? ? ?? ， 　 　1y N m a xF , F P c o s F s i n??? ? ? ?? 　 　 　列平衡方程 ： NS FfF ?m a x補(bǔ)充方程 1 Sm a xSsin f c o sFPc o s f sin?????(2)求力的最小值 F1 min。當(dāng)物體處于平衡時(shí)，試求水平力 F1的大小。因此， F1的數(shù)值必在一范圍內(nèi)。 由于物體平衡時(shí)摩擦力有一定的范圍(即 0≤FS≤Fmax＝ fSFN)， 所以主動(dòng)力的值也有一定的范圍。有時(shí)為了計(jì)算方便，也先在臨界狀態(tài)下計(jì)算，求得結(jié)果后再分析、討論其解的平衡范圍。 （ 1） 受力分析 時(shí) ，必須考慮摩擦力 ，其方向與假設(shè)無摩擦?xí)r物體在其他力的作用下的滑動(dòng)方向相反。但一定符合 FS≤Fmax 。 考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題 求解考慮摩擦?xí)r的平衡問題的幾個(gè)特點(diǎn)： （ 2） 已知主動(dòng)力 ， 討論物體狀態(tài) 。因此螺紋的自鎖條件是： ? ≤ ? 若螺旋千斤頂?shù)穆輻U與螺母之間的摩擦因數(shù)為 fS＝ ， ? ＝ 5 ? 42’。 對(duì)于千斤頂，螺母相當(dāng)于斜面上的滑塊，加于螺母的軸向載荷，相當(dāng)物塊的重力。 因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角 ?就是斜面的傾角。 （ 2）列平衡方程： 0s i n0 m a x ????? FPF x ?0c o s0 ????? Ny FPF ?Ns FfF ?m a xss ff a r ct a nt a n ＝即： ?? ?解得： x y α O P FN Fmax α ＝ ? 討論 斜面上物體的自鎖條件（即不下滑的條件）： ?≤ ? 工程實(shí)際中常應(yīng)用 自鎖原理 設(shè)計(jì)一些機(jī)構(gòu)或夾具，如千斤頂、壓榨機(jī)、圓錐銷等，使它們始終保持在平衡狀態(tài)下工作。 解 ： （ 1）研究對(duì)象：物體。 ?FR ? 如果作用于物體的 全部 主動(dòng)力的合力作用線 在摩擦角之外，無論該力多 小 ，物體 一定 會(huì)滑動(dòng)。 當(dāng) ?≥ ? 時(shí)，由于接觸面只能提供摩擦角范圍內(nèi)的全反力，不能保證與主動(dòng)力共線。 tan? tan?≥ ? ?FR ?FRA 證明： ? ≥ ?是 物體平衡的充要條件。 設(shè)接觸面的摩擦角為 ? ，主動(dòng)力 FR與法向夾角為 ? 。用 ? 表示。 一般平衡 臨界狀態(tài) FN FR Fs m a xNFtanF? ?接觸點(diǎn)的全約束反力作用線只能在摩擦角以內(nèi)。用 ? 表示。 摩擦角 FN Fmax 全反力 ： R N sFFF??)(::摩擦力切向反力法向反力sNFF??摩擦角的正切等于摩擦因數(shù)。 最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力 (即法向反力 )成正比。 = f FN FN：法向反力（正壓力） f ：動(dòng)摩擦因數(shù)，為常數(shù)，由材料決定。 方向恒與物體相對(duì)滑動(dòng)的趨勢方向相反。實(shí)驗(yàn)測定。 FN： 正壓力。 靜摩擦力 實(shí)驗(yàn) : FFF sx ???? 0（ 3）當(dāng)主動(dòng)力 P 增加到某個(gè)數(shù)值，物體處于 將動(dòng)未動(dòng)的臨界平衡狀態(tài) 。 由平衡方程確定靜摩擦力大小 。 摩擦力： 作用于 相互接觸處； 方向 與相對(duì)滑動(dòng)的相對(duì)滑動(dòng)趨勢的方向相反； 考慮摩擦?xí)r的平衡問題 靜摩擦力 P FN G Fs （ 1） P為零時(shí)，物體 沒有運(yùn)動(dòng)趨勢 ，摩擦力 Fs為零。 摩擦 ?干摩擦 濕摩擦 按物體間 接觸面狀況 靜滾動(dòng)摩擦 動(dòng)滾動(dòng)摩擦 基本概念 大小 根據(jù)主動(dòng)力的情況，用不同的計(jì)算方法計(jì)算。 有弊：零件的磨損，能量消耗等。 考慮摩擦?xí)r的平衡問題 摩擦 按物體間相對(duì) 運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 滑動(dòng)摩擦 滾動(dòng)摩擦 靜滑動(dòng)摩擦 動(dòng)滑動(dòng)摩擦 工程實(shí)際中，物體的接觸面不會(huì)完全光滑，摩擦總會(huì)存在。 Q Waba?? ?P l a W aab???≤ ≤ 因此，起重機(jī)不翻倒的條件： ? ? 20AQ ( a b ) W a P l a F a? ? ? ? ? ? ?? ? 20BQ b a W a F a? ? ? ? ?? ? ? ?12AF Q a b W a P l aa ??? ? ? ? ???≥0 ? ? ? ?12 Q a b W a P l aa ??? ? ? ???為使起重機(jī)不繞點(diǎn) A翻倒，必須 FB≥0。 例 210： 塔式起重機(jī)如圖。 P l b B A W Q 2a 0Bm ( F ) ??AF ≥0 Q ≥ ? ?P l a W aab??? (2)當(dāng)空載時(shí)，受力如圖。 0Bm ( F ) ??? ? 0xF0Am ( F ) ??0Am ( F ) ??0Cm ( F ) ??0Bm ( F ) ??這二組平衡方程也能滿足力系平衡的必要和充分條件（證明略，見 P49） 對(duì)于受平面任意力系作用的 單個(gè)研究對(duì)象 的平衡問題，只可以寫出 三個(gè)獨(dú)立 的平衡方程，求解三個(gè)未知量。 0m ( F ) ?? A FAx ＋ FBcos 45? ＝ 0 FAy ＋ FBsin 45? － P ＝ 0 FBsin 45??l － P?2 l ＝ 0 l l FAx ＝－ 20kN FAy＝－ 10kN (負(fù)號(hào)表明反力方向與圖示相反 ) B FAx FAy ? ? 0xF? ? 0yF由作用反作用公理， BC桿受壓力 0?? Bm (F)? Am (F) = 04 5 0Ax BF F c o s??45BF sin l?lFAy?? PFAy ??22＝BFP0Am ( F ) ??0Bm ( F ) ??0Cm ( F ) ?? PFAx 2??P A D B C 45? y x l l A FAx FAy FC B 45? P D C l 如果寫出對(duì) A、 B兩點(diǎn)的力矩方程和對(duì) x 軸的投影方程： 如果寫出對(duì) A、 D、 C三點(diǎn)的力矩方程： lP 2?? 0?lP?? 0?lF C ??45s in lP 2?? 0? PFC 22＝lFAx?? lP 2?? 0?lFAy?? lP?? 0?PFAx 2?? 說明三個(gè)方程相互獨(dú)立 說明三個(gè)方程相互獨(dú)立 ? ? 0xFPFAy ??二、平衡方程的其它形式 二矩式： 三矩式： x 軸不得垂直于 A、 B連線。C F39。設(shè)梁和桿的自重不計(jì)，求鉸鏈 A的約束反力和桿 BC所受的力。（ 2）力偶的投影與力矩。 P 4m 2m q m C B A 45176。承受均布載荷 q=6kN/m ，力偶矩 M＝ 8kNm。 坐標(biāo)軸應(yīng)當(dāng)與盡可能多的未知力作用線相垂直。上式稱為平面一般力系的平衡方程。 載荷集度為 q。 （ 3） 作用線 ：通過由分布載荷組成的幾何圖形的形心。 FR A B l xC C D q （ 1） 方向 ：與分布力相同。 （ 1）方向：與分布力 q 相同。 qlxqx ?在任意截面 x 處 分布力合力 求合力的作用線 (利用合力矩定理 ) xC 0lRxF q dx? ? xdxlql??0qlxlql212 02???????? 12RF ql?即： 0lR C xF x q d x x? ? ? ?? 203313 qlxlq l ????????dxxlql 20 ?? ? lx C 32?即 dFR 例 27： 水平梁