高二數學坐標系與參數方程(參考版)
2024-11-16 16:44本頁面
【正文】 陜西 ) 已知圓 C 的參數方程為????? x ＝ co s α ，y ＝ 1 ＋ si n α ( α 為參數 ) ，以原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為 ρ si n θ ＝ 1 ，則直線 l 與圓 C 的交點的直角坐標為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 ∵ y ＝ ρ s i n θ ， ∴ 直線 l 的直角坐標方程為 y ＝ 1. 由????? x ＝ c o s α ，y ＝ 1 ＋ si n α得 x2＋ ( y － 1)2＝ 1. 由????? y ＝ 1 ，x2＋ ( y － 1 )2＝ 1得????? x ＝－ 1 ，y ＝ 1或????? x ＝ 1 ，y ＝ 1. ∴ 直線 l 與圓 C 的交點的直角坐標為 ( － 1 , 1 ) 和 ( 1 , 1 ) ． (－ 1, 1) ， ( 1 ,1 ) 13 ．直線 l 的參數方程為????? x ＝ a ＋ ty ＝ b ＋ t( t 為參數 ) ， l 上的 點 P 1 對應的參數是 t 1 ，則點 P 1 與 P ( a ， b ) 之間的 距離為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 | P 1 P |＝ [ ( a ＋ t 1 ) － a ]2＋ [ ( b ＋ t 1 ) － b ]2 ＝ 2 t21 ＝ 2 | t 1 |. 2 |t 1 | 14 ．直線????? x ＝ t co s θy ＝ t s i n θ與圓????? x ＝ 4 ＋ 2 co s αy ＝ 2 s i n α相切，則 θ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 直線為 x t a n θ － y ＝ 0 ，圓為 ( x － 4)2＋ y2＝ 4 ， 圓心為 ( 4 , 0 ) ， ∵| 4 t a n θ |1 ＋ t a n2θ＝????????4si n θc o s θ????????1c o s θ＝ | 4 s i n θ |＝ 2 ， ∴ si n θ ＝12或 s i n θ ＝－12， ∴ θ ＝π6或 θ ＝5π6. π6或5π6 返回 。 . D 3 ．不論 θ 取何值，方程 x2＋ 2 si n θ － 1y ＝－ t si n 1 3 0 176。 － 1y ＝－ t co s 4 0 176。 D ． 1 3 0 176。 B ． 50176。 － 1y ＝－ t co s 4 0 176。 廣東 ) 在極坐標系 ( ρ ， θ )(0 ≤ θ 2 π ) 中，曲線 ρ ＝ 2sin θ 與 ρ c os θ ＝－ 1 的交點的極坐標為 ______ ． 思維啟迪 ( 1 ) 化為直角坐標方程求交點，再將交點坐標化為極坐標． ( 2 ) 直接聯立極坐標方程求解． 解析 曲線 ρ ＝ 2sin θ 化為直角坐標系方程為 x2＋ y2－ 2 y＝ 0. 由 ρ c os θ ＝－ 1 可化為 x ＝－ 1. 將 x ＝－ 1 代入 x2＋ y2－ 2 y＝ 0 得 x ＝－ 1 ， y ＝ 1 ，因此交點的直角坐標為 ( － 1,1) ，化為極坐標為??????2 ，3π4. 答案 ????????2 ， 3π4 探究提高 解決這類問題一般有兩種思路．一是將極坐標方程化為直角坐標方程，求出交點的直角坐標，再將其化為極坐標；二是將曲線的極坐標方程聯立，根據限制條件求出極坐標．要注意題目所給的限制條件及隱含條件． 變式訓練 2 在極坐標系中，已知直線 l 的極坐標方程為 ρ si n ( θ ＋π4) ＝ 1 ，圓 C 的圓心是 C (1 ，π4) ，半徑為 1. 則圓 C 的極坐標方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 設 O 為極點， OD 為圓 C 的直徑， A ( ρ ， θ ) 為圓C 上的一個動點，則 ∠ AO D ＝π4－ θ
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