【正文】 ．解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）則所以曲線C的方程為 （2）曲線C是以（－3，0）為圓心，為半徑的圓，曲線C′也應(yīng)該是一個(gè)半徑為 的圓，點(diǎn)（－3，0）關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－3），所以曲線C′的方程為又O是C′對(duì)稱中心，則O（0，－3）到直線的距離d為所以。解⑴直線AB的方程為，聯(lián)立方程,消去y得,.設(shè)A(),B(),得 解得⑵、點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)的軌跡上的一點(diǎn)，是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試討論直線與圓的位置關(guān)系．解：（1）設(shè)，則，．由，得，化簡(jiǎn)得．所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（2）由在軌跡上，則，解得，即．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與圓相離．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．圓的圓心到直線的距離，令，解得；令，解得；令，解得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓相離．19．已知 （1）求點(diǎn)的軌跡C的方程； （2）若直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，并且A、B在y軸的同一側(cè)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. （3）設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)為M，若直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過點(diǎn)M？若有，求出k的值；若沒有，寫出理由.解：（1）由 又，故所求的軌跡方程是 （2）設(shè)、把，得 ∵A、B在y軸的同一側(cè)，得到 綜上，得. （3）由（2）得…① …② ……③∵曲線C與x軸交點(diǎn)、若存在實(shí)數(shù)k，符合題意，則不妨取點(diǎn)將①②③式代入上式，整理得到，解得舍去）根據(jù)曲線的對(duì)稱性，知存在實(shí)數(shù)，使得以AB為直徑的圓恰好過M點(diǎn)20．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)FF2和動(dòng)點(diǎn)P，F(xiàn)F2的坐標(biāo)分別為F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，曲線C關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱曲線為曲線C′，直線與曲線C′交于A、B兩點(diǎn)，O是C′的對(duì)稱中心，△ABO的面積為。解：（1）圓C方程化為：，圓心C………………………………………………………1分設(shè)橢圓的方程為，則……………………………………..2分所以所求的橢圓的方程是： ………………………………………….6分（2）由（1）得到橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，在C內(nèi)，故過沒有圓C的切線……………………………………………….8分設(shè)的方程為……………………………………….9分 點(diǎn)C到直線的距離為d,由＝…………………………………………….11分化簡(jiǎn)得：解得：…………………………………………………………13分故的方程為……………………………14分，且與定直線相切.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（II）若是軌跡C的動(dòng)弦，且過， 分別以、為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q，證明:.解：（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上……2分 因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離等于4, 所以圓心的軌跡是………………….5分（II） …………….6分， ， ………8分拋物線方程為 所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是， ，所以，以為圓心的圓與直線相切．（1）求圓的方程；（2）已知、圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，求的取值范圍．解（1）依題意，圓的半徑等于圓心到直線的距離，即∴圓的方程為． （2）設(shè)，由，得，即．?dāng)?shù)學(xué)驛站 ∵點(diǎn)在圓內(nèi)，∴，∴的取值范圍為． ，斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，如果弦的長(zhǎng)度為。此時(shí)，y0= 所以點(diǎn)P()13某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng) 解： 以拱頂為原點(diǎn)，水平線為軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，、坐標(biāo)分別為、設(shè)拋物線方程為,將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，于是拋物線方程為 由題意知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得從而 故最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)應(yīng)為3 84米 ，焦點(diǎn)在x 軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：的圓心C。解一：設(shè)拋物線y=x2上點(diǎn)P(x0,y0)到直線xy3=0的距離最短。設(shè)代入橢圓方程消去x化簡(jiǎn)得：解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。解：（1）設(shè)雙曲線的方程為 （1分）則，再由得， （3分）故的方程為 （4分）（2）將代入得 （5分）由直線與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)得： （7分）且① （8分）設(shè)，則 （10分）又，得 即，解得：② （12分）由①、②得：故k的取值范圍為。(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn), 且N為線段CD的中點(diǎn)，求直線的方程.解: (Ⅰ)設(shè)……………………………………………………………………………1分因?yàn)?所以……………………………………..3分化簡(jiǎn)得:. ……………………………………………………………..4分(Ⅱ) 設(shè) 當(dāng)直線⊥x軸時(shí),直線的方程為,則,其中點(diǎn)不是N,不合題意…………………………………………6分設(shè)直線的方程為 將代入得…………(1) …………(2) ……………………………….8分(1)(2)整理得: ……………………………11分直線的方程為即所求直線的方程為……………………………………………解法二: 當(dāng)直線⊥x軸時(shí),直線的方程為,則,其中點(diǎn)不是N,不合題意.故設(shè)直線的方程為,將其代入化簡(jiǎn)得由韋達(dá)定理得,又由已知N為線段CD的中點(diǎn),得,解得,將代入(1)式中可知滿足條件.此時(shí)直線的方程為,即所求直線的方程為9．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線：（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．（Ⅰ）解法一：當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為（），則，又點(diǎn)在橢圓上，得．解得．∴橢圓的方程為．當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為（），則，又點(diǎn)在橢圓上，得．解得，這與矛盾．綜上可知，橢圓的方程為． ……4分解法二：設(shè)橢圓方程為（），將、代入橢圓的方程，得解得，．∴橢圓的方程為． ……4分（Ⅱ）證法一：將直線：代入橢圓的方程并整理，得， ……6分設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． ……8分直線的方程為：，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為． ……10分下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：∵，∴．因此結(jié)論成立．綜上可知，直線與直線的交點(diǎn)在直線上． ……14分證法二：將直線：，代入橢圓的方程并整理，得， ……6分設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． ……8分直線的方程為：，即．直線的方程為：，即． ……10分由直線與直線的方程消去，得 ．∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上． ……14分11．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D的軌跡方程．1. （1）設(shè)橢圓C的方程為．由題意可得：， （2）（1）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為， ， 即， ① 又， ②又點(diǎn)在直線AB上， ③ 把②③代入①得，點(diǎn)D的軌跡方程為 （2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，滿足點(diǎn)D的軌跡方程為 8. 已知傾斜角為的直線過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限。此時(shí)，點(diǎn)P到直線xy3=0的距離最短。 依題意：切線的斜率為1。此時(shí)，y0= 所以點(diǎn)P() 解二：將直線xy3=0往上平移，與拋物線在點(diǎn)P(x0,y0)處相切。解一：設(shè)拋物線y=x2上點(diǎn)P(x0,y0)到直線xy3=0的距離最短。 ⑴求的值；⑵求證：（O為原點(diǎn)）。解⑴直線AB的方程為，聯(lián)立方程,消去y得,.設(shè)A(),B(),得 解得⑵2．已知雙曲線（1，1）能否作一條直線A，B兩點(diǎn)，且P為線段AB 的中點(diǎn)？解：設(shè)能作直線滿足條件，設(shè)（），B（）則—化為（1，1） （）即把直線代入雙曲線方程為 即直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn) 不存在直線滿足條件。 （I）求橢圓的方程； （Ⅱ）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值； 解法一：（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 21世紀(jì)教育網(wǎng) 即又由得故又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立21世紀(jì)教育網(wǎng) 時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值中點(diǎn)坐標(biāo)5過點(diǎn)，斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，如果弦的長(zhǎng)度為。當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓。解(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由,點(diǎn)P在橢圓上,得, ∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,∴△ABC的面積S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立.∴S△ABC的最大值是. 9. (2009山東卷文)（本小題滿分14分）設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀。=－ 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0x01, y0=2, y 39。求：（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值。=－ 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0x01, y0=2, y 39。求：（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值。試探究的值是否與點(diǎn)及直線有關(guān)，不必證明你的結(jié)論。解：（1）設(shè)，依題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ……………1分∴ ………………………2分又 ∴ ………………………4分∵ 在⊙上，故 ∴ ………………………5分∴ 點(diǎn)的軌跡方程為 ………………………6分（2）假設(shè)橢圓上存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)滿足，則是線段MN的中點(diǎn)，且有…9分又 在橢圓上∴ 兩式相減，得 ……12分∴ ∴ 直線MN的方程為 ∴ 橢圓上存在點(diǎn)、滿足，此時(shí)直線的方程為 ……………