【正文】 。希望大家在復(fù)習(xí)過(guò)程尤其是做題，最好多花一點(diǎn)時(shí)間多看題，多總結(jié)，多思考；少盲目做題，少抓瞎訓(xùn)練?？v觀題19海，其實(shí)理科大多數(shù)學(xué)科都能夠總結(jié)出這類通解方法。因?yàn)楦呖己茈y遇到熟悉的題型，所以大家在訓(xùn)練的時(shí)候一定把握住上面說(shuō)的特點(diǎn)：題目讓干嘛就干嘛；找出問(wèn)題和條件的差距點(diǎn)；但凡卡住的時(shí)候找“前提”或“后補(bǔ)” 。其實(shí)無(wú)論消去 b 或者消去 c，都能根據(jù)第一步的結(jié)論得出證明結(jié)果，只是消去 b 省事一些而已。來(lái)看我們的思想原則：首先找出題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么，然后利用“找后補(bǔ)”或“找前提”的方式彌補(bǔ)出這個(gè)差距，題目讓我們干嘛就干嘛。之所以要求導(dǎo)，是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)=0 時(shí)是極值點(diǎn)，這個(gè)就是直接根據(jù)定義得來(lái)的，符合我們說(shuō)的通解思維。09 試題的題型雖然比較獨(dú)特，但是看看能否用這種思維來(lái)作出這道題呢？我們看看：設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn) ，且??32fxbcx??12x、 11[0],[,2].x??，18（I）求 滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫bc、出滿足這些條件的點(diǎn) 的區(qū)域；??,(II)證明： 2110fx???解析：不管這道題的問(wèn)法是什么，拿到題后還是先關(guān)注題目讓我們干什么。1， 若存在某 滿足 ，則由第二步可知：ik≤ ib≤ 1ki??≥ 02， 若對(duì)任意 都有 ai?，則 kk abaln1???≤ bl11?11lnkiiab???11lnkib??11()lki?l1?)(1a?0，即 ? 解析：這道題出的十分經(jīng)典，即考察定義，又綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)式子看起來(lái)比較能夠“嚇唬”人，思維跳躍過(guò)程很大，但是計(jì)算本身并不復(fù)雜，這題失分率非常之高，第一步的過(guò)程就把很多學(xué)生難倒，這是不應(yīng)該的，其實(shí)無(wú)論多難的數(shù)學(xué)題，解題的根本方法是從題目本身入手，題目讓干嘛就干嘛，要我們做什么就自然而然的做，而不是看到題就聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)套用，那樣只能做簡(jiǎn)單的題，對(duì)付這類靈活多變的綜合題，我們要在做題過(guò)程中形成這種相對(duì)固定的解題思路，達(dá)到用一招就能化解多題，做一題，會(huì)百題的效果。解：第一步（略） ，第二步證明，發(fā)現(xiàn)第一步函數(shù)的增減性可以直接利用，直接用數(shù)學(xué)歸納法。大家不妨用這種思維去看看 08 的最后一題。我們只要沿用這種求同存異的“補(bǔ)差”思想，還是非常容易做的，甚至連計(jì)算都不難。對(duì)于高考，方法越簡(jiǎn)單越實(shí)用越好，尤其是第二步給出了個(gè)看似復(fù)雜的式子，我們沒(méi)有必要花費(fèi)過(guò)多的精力推導(dǎo)，直接用數(shù)學(xué)歸納法即可（過(guò)程略） ?？傮w而言，全部的解題思維是驚人的趨于一致的。題目給的是 這個(gè)式子，那么必須求出 Sn。第二問(wèn)是數(shù)學(xué)證明，首先可以考慮數(shù)學(xué)歸納法證明，但是這題題設(shè)與我們得到的結(jié)論差距較少，直接求解較快，如果為求穩(wěn)妥，建議用數(shù)學(xué)歸納法。解: (Ⅰ)由 Sn= an－ 2n+1+ , n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－ 4+ 所以 a1=2.43 13 23 43 13 23再由①有 Sn－1 = an－1 － 2n+ , n=2,3，4,… ②43 13 23將①和②相減得: an=Sn－S n－1 = (an－a n－1 )－ (2n+1－2 n),n=2,3, …做到這一步相信大家都會(huì)，那么我們要43 13求 an 公式，通過(guò)這個(gè)式子，我們發(fā)現(xiàn)差距點(diǎn)在 an－a n－1 ，同時(shí)可以 2n+1－2 n 也是相差一次，因此直接提出后，可以得出： an+2n=4(an－1 +2n－1 ),n=2,3, … , 這個(gè)就是我們所彌補(bǔ)的缺失點(diǎn)。所謂的“必要性思維”指的是要想獲取某個(gè)結(jié)果，必須獲得的前提是什么，多屬于逆推，兩者的道理是一樣的。由于知道函數(shù)的增減性，就容易了，馬上可列出 a 的表達(dá)式： 又 即當(dāng) 時(shí)有 有人說(shuō)這個(gè)不是表,2)0(,321)( agg????]1,0[x ].2,31[)(axg?達(dá)式，還是個(gè)未知數(shù)，沒(méi)關(guān)系，我們?cè)儆猛瑯拥乃枷肴プ撸l(fā)現(xiàn)現(xiàn)在能利用的條件也異常清楚了（因?yàn)榫瓦@個(gè)沒(méi)用上了）：15 任給 ， ，存在 使得 ，則]1,0[?x]3,4[)(1?xf ]1,0[?x)(10xfg? 即 解得 ； [,123??a242????????a 35???a或 .2又 ，故 a 的取值范圍為?.31?評(píng)析：這道題式子復(fù)雜，05 年高考時(shí)候正確率非常之低，但是其中的解題過(guò)程并不復(fù)雜，思維方向也十分明確，只是考題將多個(gè)概念進(jìn)行轉(zhuǎn)換，條件隱蔽的相對(duì)較深。既然題目給的是區(qū)間，因此我們不妨對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)，得 【思考：)( ).(3)2xg???憑什么進(jìn)行求導(dǎo)？目的是什么？】到了這一步，由于題目告訴我們 ，所以當(dāng) 時(shí)，1?a1,0?.0)1(3)2????axg因此當(dāng) 時(shí)， 為減函數(shù)，從而當(dāng) 時(shí)有 這個(gè)就是我們所要的,?)(xg]1,0[?x)].(,[)(gx缺失條件。根據(jù)定義得出以下式子：解：（I）對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)，得 到這步幾乎大家都會(huì)，題)(xf 22)(71)(7164) xxxf ??????目問(wèn)的是的單調(diào)區(qū)間和值域，很多人看到這個(gè)式子不敢往下分析，其實(shí)仍舊跟據(jù)定義： 令 解0)(??xf得 然后做表分析即可。若對(duì)于任意 總存在 ，1?agxax()[,]???3201， x10?[]， x01[]，使得 成立，求 a 的取值范圍。我們借助一下歷年高考真題，看看是不是能夠用一種方法或一種思維進(jìn)行解答。通過(guò)對(duì)構(gòu)造法解題的探討，給你以下幾點(diǎn)深刻的思想啟示：（1）構(gòu)造思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中起到化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化和橋梁作用，要運(yùn)用這種方法，要求掌握各種基本方法，分析題目特點(diǎn)進(jìn)行創(chuàng)造性聯(lián)想；（2）運(yùn)用構(gòu)造法解決問(wèn)題，可以使數(shù)學(xué)各分支知識(shí)相互滲透，有利于提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；（3）數(shù)學(xué)各分支知識(shí)為構(gòu)造法解題提供了廣闊而豐富的背景，構(gòu)造方式是最為重要的，有必要留意體會(huì)和理解記憶所造成的輔助元素的含義和作用，以便在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中重視掌握這一獨(dú)特有效的方法。而且新課標(biāo)還指出：“要將數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)融合在一起，不能代數(shù)就是代數(shù)，幾何就是幾何。4 總結(jié)與思考 構(gòu)造性法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常廣泛，不論是添加輔助線還是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，都會(huì)用到構(gòu)造思想。例 4：求 ．20xd??解：由定積分的幾何意義， 可以表示由 及204xd??0,xy?圍成的封閉圖形的面積，如圖 35 所示陰影部2yx????分．所以．2204d?????構(gòu)13造法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在這些新增加的內(nèi)容中得到了充分的體現(xiàn)：構(gòu)造一個(gè)和式的極限將極限表示為定積分，構(gòu)造圖形求定積分，構(gòu)造定積分求平面圖形的面積等。 構(gòu)造法在微積分中的應(yīng)用根據(jù)國(guó)際性的調(diào)查，微積分在幾乎所有國(guó)家的高中數(shù)學(xué)課程體系中都占據(jù)了一席之地。例 3： 4444444(106)(8)(26)(36)(2)(506)(8)08????4422222 2222()1 =()(84)1(64)0(64) 15 nn?????????????????解 :原 式 2603=8.()?? 算法能夠?qū)⑾囝愃频膸讉€(gè)步驟用一個(gè)步驟展示或一個(gè)式子表示，算法語(yǔ)言不僅計(jì)算機(jī)可以讀懂，而且可以幫助解題者理清思路，使解答過(guò)程附有邏輯。例如構(gòu)造出一個(gè)“判斷整數(shù) 是否為質(zhì)數(shù)”的算法，你就能判斷 7 是不是質(zhì)數(shù)，179 是不是質(zhì)數(shù)，158976521 是不是質(zhì)數(shù)，??2n?……。 構(gòu)造法在算法中的應(yīng)用算法是《標(biāo)準(zhǔn)》中一個(gè)全新的內(nèi)容，但它并不陌生，先乘除，后加減；自里向外脫括號(hào)、通分、高斯消去法等等，都是算法。:0laxby??解析幾何中有關(guān)求取值范圍的問(wèn)題，常要借助不等式求解，解題的關(guān)鍵是充分利用已知條件、挖掘題目的隱含條件來(lái)構(gòu)造不等式。??22acbd?????22cc解析幾何就是代數(shù)與幾何的結(jié)合，經(jīng)常利用點(diǎn)線距離公式、兩點(diǎn)距離公式、斜率公式、直線與圓的位置關(guān)系來(lái)證明代數(shù)中的不等式問(wèn)題。xy lOM圖 33設(shè)點(diǎn) 到直線 的距離為 。證：若 ，則 ，不等式顯然成立。以下這些解題思想都滲透了構(gòu)造法，分別用兩個(gè)例子介紹構(gòu)造點(diǎn)、線證明不等式和構(gòu)造不等式解圓錐曲線中的范圍問(wèn)題。所以解析幾何和代數(shù)的聯(lián)系會(huì)更加緊密。新課改降低了解析幾何中二次曲線的要求，以掌握基本的幾何知識(shí)為主，不必在一些認(rèn)為的難題上逗留。 構(gòu)造法在解析幾何中的應(yīng)用解析幾何往往是學(xué)生很怕遇到的題目，因?yàn)樗C合性強(qiáng)，數(shù)形結(jié)合緊密。52yx??解：設(shè)冪函數(shù) ，52yx???? y=x????????????， 在 ， 上 是 減 函 數(shù) ， 構(gòu)造函數(shù)比較幾個(gè)數(shù)的大小是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的一種重要的應(yīng)用。例 1：比較 和 的大小。對(duì)于某個(gè)函數(shù)題，找不到已知條件與未知量的直接關(guān)系，或者想到一題與此題相似的題目，但需要引進(jìn)輔助元素，此時(shí)你就要考慮用構(gòu)造法解函數(shù)題；對(duì)于某些問(wèn)題，可以從中找出作為自變量的因素或是可以表示成某一變量的函數(shù)，從而利用函數(shù)性11質(zhì)解決問(wèn)題。 構(gòu)造法在函數(shù)中的應(yīng)用 函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，它貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終。 構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性的解題方法，在函數(shù)、向量、幾何、算法等內(nèi)容中都有著廣泛的應(yīng)用，所以我相信，用構(gòu)造法解題會(huì)越來(lái)越普遍，成為一種師生所熟練應(yīng)用的解題方法。因此，要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯整合。 （3）弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯整合。（2）要有明確的方向，即要明確為了解決什么問(wèn)題而建立一個(gè)相關(guān)的構(gòu)造。使用構(gòu)造法解題是對(duì)已有知識(shí)和方法采取分解、組合、變換、類比、限定、推廣等手段進(jìn)行思維的再創(chuàng)造，構(gòu)成新的式子或圖形來(lái)幫助解題。構(gòu)造性解題方法很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，也滲透了猜想、換元、歸納概括、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法。 “構(gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，它沒(méi)有固定的模式。 ???構(gòu)造性方法的實(shí)質(zhì)就是依據(jù)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件” ，用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架” ，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象、一種新的數(shù)學(xué)形式，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并解決的方法。構(gòu)造法是一種數(shù)學(xué)方法，是采用構(gòu)造的方法去執(zhí)行這種策略的具體手段。文章通過(guò)對(duì)向量、概率、算法、微積分等 7 塊知識(shí)點(diǎn)的舉例研究，初步試探構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。綜合相關(guān)文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn)，廣大教育工作者已經(jīng)對(duì)構(gòu)造法解題的基本類型、構(gòu)造法的功能及構(gòu)造法對(duì)思維能力的培養(yǎng)有了廣泛的研究。1 構(gòu)造性方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用駱駝中學(xué) 杜歐佳 摘要：構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維有著重要意義。我們的目的是不擇手段把分?jǐn)?shù)拿到手，因此如何減少計(jì)算量，如何避免小題大做，就要具備更多的思考能力。我們的基本思想是快速解答，利用一切可以利用的因素來(lái)做題。解答數(shù)學(xué)選擇題，其實(shí)并沒(méi)有規(guī)定大家要具備特定的套路，前面列舉的思維只是單純的從題目角度上看，采用了哪些思維而做的一些解說(shuō)。當(dāng)你具備這種思維后，去解答這類題型，就發(fā)現(xiàn)這類題完全屬于送分題。127，故選 C。 例 10 2561 可能被 120 和 130 之間的兩個(gè)數(shù)所整除，這兩個(gè)數(shù)是： A、123，125　　 B、125，127　　　　C、127，129　　　　D、125，127 由 2561=（228+1） （214+1） （27+1） （271）=（228+1） （214+1） 快速解題思維七：歸納推導(dǎo)思維。 例 9 5 這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有： A、36 個(gè)　　　　B、60 個(gè)　　 C、24 個(gè)　　　　 D、28 個(gè)　　 由于五個(gè)數(shù)字可組成 60 個(gè)（A53）沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，而其中 12345 中，奇數(shù)有 3 個(gè)，偶數(shù)有兩個(gè)，所構(gòu)成及奇數(shù)必然超過(guò)一半，但又不全是奇數(shù)，而 B 是所有不重復(fù)的三位數(shù)，C、D 都沒(méi)有超過(guò)一半。 快速解題思維六：估值思維。這類題型通常選項(xiàng)是固定數(shù)值。具體案例就不再枚舉。這種思維是大家最為熟悉的，很多題一畫圖就一目了然，或者馬上就有解題思路和方向。因?yàn)槠邢?，下面只說(shuō)明一下其他題型的一些解題思想，提供少量題型進(jìn)行分析。 數(shù)學(xué)選擇題還有很多題型，我們只要思路開闊，不要限定于傳統(tǒng)的解題方式，是比較容易解答題目的。9 排除選項(xiàng)的思想應(yīng)該是我們具備的必備思想之一。 快速解題思維三：利用選項(xiàng)比較快速答題。這也是一種解題思想，但是還是過(guò)于拘泥于“正規(guī)答題” ，P 與 A1 重合，Q 與 C 重合是大家的思維盲點(diǎn)，如果能打