第8章：解析幾何兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式(參考版)
2025-08-08 10:53本頁(yè)面
【正文】 點(diǎn) P到兩定點(diǎn)距離之和的最小值為 |AB|的長(zhǎng)度 ,如圖 . |P′A|+|P′B|≥|AB|=|PA|+|PB|. 當(dāng)且僅當(dāng) A,B,P三點(diǎn)共線時(shí)等式成立 . 返回目錄 新 課 標(biāo) 資 源 網(wǎng) 老 師 都 說(shuō) 好 ! ② 當(dāng)兩定點(diǎn) A,B在直線 l的同側(cè)時(shí) ,作點(diǎn) A關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn)為 A′.連結(jié) A′B交直線 l于點(diǎn) P,則點(diǎn) P到兩定點(diǎn) A,B的距離之和最小 . (2)在直線 l上求一點(diǎn) P,使 P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大 . 返回目錄 ① 當(dāng)兩定點(diǎn) A,B在直線 l的同側(cè)時(shí) (AB連線與 l不平行 ),連結(jié) A,B兩點(diǎn)所在的直線 ,交直線 l于點(diǎn) P.如圖 ,在 l上任取一點(diǎn) P′,則有 當(dāng) ||P′B||P′A||≤|AB|=|PB||PA|, 當(dāng) P′與 P兩點(diǎn)重合時(shí) ,等號(hào)成立 ,最大的值為|AB|.重合時(shí) ,等號(hào)成立 ,最大值為 |A′B|. 新 課 標(biāo) 資 源 網(wǎng) 老 師 都 說(shuō) 好 ! ② 當(dāng)兩定點(diǎn) A,B在直線 l的異側(cè)時(shí) ,作點(diǎn) A關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn) A′,連結(jié) A′B,交 l于點(diǎn) P,如圖可知 , ||PB||PA′||=|A′B|時(shí) ,達(dá)到最大 . 在 l上任取一點(diǎn) P′,則 ∵ ||P′B||P′A′||≤|A′B|, ∴ 當(dāng) P′點(diǎn)與 P點(diǎn)重合時(shí) , 等號(hào)成立 ,最大值為 |A′B|. 返回目錄 新 課 標(biāo) 資 源 網(wǎng) 老 師 都 說(shuō) 好 ! 設(shè)點(diǎn) A(3,5)和 B(2,15),在直線 l:3x4y+4=0上 ,找一點(diǎn) P, 使 |PA|+|PB|為最小 ,并求這個(gè)最小值 . ＊對(duì)應(yīng)演練＊ 返回目錄 新 課 標(biāo) 資 源 網(wǎng) 老 師 都 說(shuō) 好 ! 設(shè)點(diǎn) A關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn) A′的坐標(biāo)為（ a， b）， 則由 AA′⊥ l和 AA′被 l平分， , , 解之得 a=3， b=3， ∴ 點(diǎn) A′的坐標(biāo)為（ 3， 3） , ∴ (|PA|+|PB|)min=|A′B|= . ∵ kA′B= =18, ∴ 直線 A′B的方程為 y+3=18（ x3） . 3x4y+4=0， y+3=18（ x3）， 返回目錄 1433a 5b =+042 5b42 3a3 =++{得 1351 5 )(32)(3 22 =+32315 + 解方程組 解之得 P( ， 3). 38{新 課 標(biāo) 資 源 網(wǎng) 老 師 都 說(shuō) 好 ! 返回目錄 本學(xué)案內(nèi)容是高考直線部分命題的重點(diǎn) .一般從下面三方面來(lái)命題：一是用直線方程判斷兩直線間的位置關(guān)系；二是利用兩直線間的位置關(guān)系求直線方程；三是綜合運(yùn)用直線的有關(guān)知識(shí)解決諸如中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等常見(jiàn)的一些問(wèn)題 . 新 課 標(biāo) 資 源 網(wǎng) 老 師 都 說(shuō) 好 ! 。k l=1,即 3C關(guān)于 l的對(duì)稱點(diǎn)為 C′,AC′與 l 的交點(diǎn) Q滿足 (2).事實(shí)上 ,對(duì)于 (1),若 P′是 l上異于 P的點(diǎn) ,則 |P′A||P′B|=|P′A||P′B′||AB′| =|PA||PB′|=|PA||PB|。 C)2(2)2 ( 1 ==++++ λλ新 課 標(biāo) 資 源 網(wǎng) 老 師 都 說(shuō) 好 ! 【 評(píng)析 】 (1)解法一是通法通解 ,用了求交點(diǎn)及兩直線垂直時(shí)斜率之間的關(guān)系求出斜率 ,然后利用點(diǎn)斜式求出方程 .解法二與解法三比較靈活 ,用了垂直和相交的直線系方程 ,運(yùn)算較簡(jiǎn)捷 . (2)常見(jiàn)的直線系方程 : ① 與直線 Ax+By+C=0平行的直線系方程是 Ax+By+m=0(m∈ R且 m≠C). ② 與直線 Ax+By+C=0垂直的直線系方程是 BxAy+m=0(m∈ R). ③ 過(guò)直線 l1:A1x+B1y+C1=0與 l2:A2x+B2y+C2=0 的交點(diǎn)的直線系方程 :A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ是實(shí)數(shù) ),但不包括 l2,應(yīng)用直線系方程①②可比較快捷地求出與已知直線平行或垂直的直線方程 ,利用直線系方程③可解決與相交和過(guò)定點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題 . 返回目錄 新 課 標(biāo) 資 源 網(wǎng) 老 師 都 說(shuō) 好
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