圓錐曲線分類匯編(參考版)
2024-08-16 04:26本頁(yè)面
【正文】 (2) 如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明2mk為定值.【答案】解: 所以再由a+b=3得a=2,b=1, ① 將①代入,解得 又直線AD的方程為 ② ①與②聯(lián)立解得 由三點(diǎn)共線可角得 所以MN的分斜率為m=,則(定值) 。(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為,.當(dāng)最大時(shí),求直線的方程.【答案】解: (Ⅰ) 先求圓C關(guān)于直線x + y – 2 = 0對(duì)稱的圓D,由題知圓D的直徑為直線對(duì)稱. (Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), ,據(jù)題可設(shè)直線方程為: x = my +2,m∈R. 這時(shí)直線可被圓和橢圓截得2條弦,符合題意. 圓C:到直線的距離. . 由橢圓的焦半徑公式得: . 所以當(dāng) ．（2013年高考安徽（文））已知橢圓的焦距為4,且過(guò)點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓C的方程。 當(dāng)時(shí),存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得. 解法2:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得. 根據(jù)對(duì)稱性, 不妨設(shè)直線:, 點(diǎn),到直線的距離分別為,則 因?yàn)?所以. 又,所以. 因?yàn)?所以. 由點(diǎn),分別在C1,C2上,可得 ,兩式相減可得, 依題意,所以. 所以由上式解得. 因?yàn)?所以由,可解得. 從而,解得,所以 當(dāng)時(shí),不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得。(Ⅱ)當(dāng)變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得?并說(shuō)明理由.【答案】依題意可設(shè)橢圓和的方程分別為 :,:. 其中, (Ⅰ)解法1:如圖1,若直線與軸重合,即直線的方程為,則 ,所以. 在C1和C2的方程中分別令,可得, 于是. 若,則,化簡(jiǎn)得. 由,可解得. 故當(dāng)直線與軸重合時(shí),若,則. 解法2:如圖1,若直線與軸重合,則 ,。(II)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】 ．（2013年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為22,在y軸上截得線段長(zhǎng)為23.(Ⅰ)求圓心P的軌跡方程。【答案】(Ⅰ)由題設(shè)知,即,故. 所以C的方程為. 將y=2代入上式,求得,. 由題設(shè)知,解得,. 所以. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,C的方程為. ① 由題意可設(shè)的方程為,代入①并化簡(jiǎn)得, . 設(shè),則 ,. 于是 , 由得,即. 故,解得,從而. 由于, , 故, . 因而,所以、成等比數(shù)列. ．（2013年高考天津卷（文））設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F, 離心率為, 過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (Ⅰ) 求橢圓的方程。 (Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線m的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 點(diǎn)M(x,y)到直線x=4的距離,是到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍,則 . 所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為 橢圓,方程為 (Ⅱ) P(0, 3), 設(shè) 橢圓經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過(guò)這2點(diǎn),即直線m斜率k存在..聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得:
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