【正文】 bn+2＜b2n+1.19．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1∈(0，1)，an＝，n＝2，3，4，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)．20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(－1)( an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝，n＝1，2，3，….證明：＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，…21．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f162。[1－(－)n]要使a＜Sn＜b對任意正整數(shù)n成立，即a＜－－(λ＋18)λ2－4λ＋9＝λ2－4λ219。()66．【點評】　本題解答有兩個關(guān)鍵：(1)利用商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較f(12)與f(9)(n)中各項的符號變化情況.題型四　求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】　已知{an}的前n項和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使＞2成立.【分析】　第(Ⅰ)小題通過代數(shù)變換確定數(shù)列an+1與an的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列；而第(Ⅱ)小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進(jìn)行推理，確定此不等式成立的合理性.【解】　(Ⅰ)由題意，Sn＋an＝4，Sn+1＋an+1＝4，由兩式相減，得(Sn+1＋an+1)－(Sn＋an)＝0，即2an+1－an＝0，an+1＝an，又2a1＝S1＋a1＝4，∴a1＝2，∴數(shù)列{an}是以首項a1＝2，公比為q＝的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)，得Sn＝＝4－22n.又由＞2，得＞2，整理，得＜21k＜1，即1＜2 k 1＜，∵k∈N*，∴2k1∈N*，這與2k1∈(1，)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.【點評】　本題解答的整個過程屬于常規(guī)解法，但在導(dǎo)出矛盾時須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個陷阱.【例8】　(08(－)(Ⅱ)由(Ⅰ)，得＝，則當(dāng)n≤10時，＝＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，當(dāng)n≥11時，＝＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者．∵＝＝20023四川高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.【分析】　根據(jù)條件將前4項與前5項和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項a1與公差d的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差d的范圍，由此可確定a4的最大值.【解】　∵等差數(shù)列{an}的前項和為Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即，∴，∴≤a4≤3＋d，則5＋3d≤6＋2d，即d≤1.∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值為4.【點評】　本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系來求最值的，其中確定數(shù)列的公差d是解答的關(guān)鍵，同時解答中要注意不等式傳遞性的應(yīng)用.【例6】　等比數(shù)列{an}的首項為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項的積，求f(n)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)n取何值時，f(n)有最大值．【分析】　第(Ⅰ)小題首先利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列{an}的通項，再求得f(n)的表達(dá)式；第(Ⅱ)小題通過商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過比較求得最值.【解】　(Ⅰ)an＝2002()n2＋a－3≥0，∴a≥－9，綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞]．【點評】　一般地，如果求條件與前n項和相關(guān)的數(shù)列的通項公式，應(yīng)當(dāng)引起重視.題型二　數(shù)列參與的不等式的證明問題此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例3】　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【分析】　根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項公式及前n項公式和建立方程組即可解決第(Ⅰ)小題；第(Ⅱ)小題利用差值比較法就可順利解決.【解】?。á瘢┰O(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，依題意得，解得，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.（Ⅱ）證明：∵an＝2n＋1，∴Sn＝＝n2＋2n．2Sp+q－(S2p＋S2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2，∵p≠q，∴2Sp+q－(S2p＋S2q)＜0，∴Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點評】　利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】　(08[12[12f(x)max≤M；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.【例1】　等比數(shù)列{an}的公比q＞1，第17項的平方等于第24項，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋恒成立的正整數(shù)n的取值范圍.【分析】　利用條件中兩項間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項公式和及所得的關(guān)系化簡不等式，進(jìn)而通過估算求得正整數(shù)n的取值范圍.【解】　由題意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列{}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，要使不等式成立，則須＞，把a(bǔ)＝q18代入上式并整理，得q18(qn－1)＞q(1－)，qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整數(shù)的取值范圍是n≥20.【點評】　本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識化簡，、方程思想及估算思想的應(yīng)用.【例2】?。?8 4．理解不等式的性質(zhì)及其證明． 5．掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用． 6．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式． 7．掌握簡單不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．【考點透視】1．以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯.2．以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對較大.3．將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.【典例分析】題型一　求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題求得數(shù)列與不等式綾結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域為D，則當(dāng)x∈D時，有f(x)≥M恒成立219。(x)min＝h(2)＝32，h162。(x)＜0，當(dāng)2＜x≤4時，h162。(2)，∴l(xiāng)ogae＝logae，t＝6.(Ⅱ)∵t＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋4)－logax＝loga，x∈[1，4]，令h(x)＝＝4x＋，x∈[1，4]，∴h162。(x)＝logae＋2，∵函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x＝2處的切線互相平行，f162。(x)＞0，h(x)是增函數(shù)，∵h(yuǎn)(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在區(qū)間(3，)、(，4)內(nèi)分別有惟一實數(shù)根，而在(0，3)，(4，＋∞)內(nèi)沒有實數(shù)根， 所以存在惟一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個 不同的實數(shù)根.22．解析：(Ⅰ)f162。(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，當(dāng)x∈(0，)時，h162。(x)＞0；當(dāng)1＜x＜1+時，f162。(1)=6，∴，即，解得b=c=3，故所求的解析式是f(x)＝x33x23x+2.（Ⅱ）f162。(x)＞0，得≤－1，∴－2≤a＜0符合題意；綜上所述，a≥－2.19．【解】（Ⅰ）由f(x)的圖象經(jīng)過P（0，2），知d＝2，則f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f162。(x)＝0，得x＝0，x＝當(dāng)a＞0時，對任意x∈(－1，0)，f162。(1)＝0，∴a＝2；(Ⅱ)①當(dāng)a＝0時，f(x)＝－3x2在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，∴a＝0符合題意；②當(dāng)a≠0時，f162。(x)＋00f(x)↗極大值↘極小值↗從上表可知，函數(shù)f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增；在(0,a－1)上單調(diào)遞減；在(a－1,＋∞)上單調(diào)遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)沒有極值.；當(dāng)a＞1時，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)3.18．【解】　(Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f162。(x)＝6x[x－(a－1)]，f162。(x)＝0，解得 x1＝0,x2＝a－1，.（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，f162。＝8x3＝－1，∴x0＝－，x0＝，∴d＝＝.三、解答題17．【解】　由已知得f162。(x)＝3x2＋2bx＋c ∵f(x)在[－1，2]上減，∴f162。(x)＝0的根與極值的關(guān)系及極值的定義易得結(jié)果.14．3＜a＜ 【解析】f162。(x)＋f(x)＞0，即則F162。(x)＋f(x)，由xf162。(x)＜0.12．B 【解析】令F(x)＝xf(x)，則F162。(0)＝0，故a＝－1，f(－1)＝－＋a＋1＝－.11．B 【解析】依題意得f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故在(－∞，0)上是增函數(shù)，即當(dāng)x＜0時，f162。＝(cosx－xsinx)＝－xsinx，令－xsinx＞0，則xsinx＜0，各選項中x均為正，只須sinx＜0，故x∈(π，2π).9．B 【解析】∵f162。(x)的值由負(fù)變正，相應(yīng)的函數(shù)值則由減變增，故f(x)162。(x)的圖象與x軸有A、B、O、C四個交點. 其中在A、C處f162。(x)≤0知，選擇f(x)圖象的下降區(qū)間即為解.6．A 【解析】f162。(x)＝0的解為x1＝，x2＝－，則∈(0，1)，∴0＜a＜1.4．B 【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴，即，令f162。(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.3．B 【解析】f162。x2＝1.2．C 【解析】∵f162。22．已知函數(shù)f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的圖象在x＝2處的切線互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅱ)設(shè)F(x)＝g(x)－f(x)，當(dāng)x∈[1，4]時，F(xiàn)(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.【專題訓(xùn)練】參考答案一、選擇題1．D 【解析】f162。(x)＞－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a＞b，則下列不等式一定成立的是 （ ）A．a(chǎn)f(b)＞bf(a) B．a(chǎn)f(a)＞bf(b) C．a(chǎn)f(a)＜bf(b) D．a(chǎn)f(b)＜bf(a)二、填空題13．右圖是一個三次多項式函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f162。(x)＜0，g162。(x)＜0，g162。(x)＞0，g162。(x)＞0，g162。(x)＞0，g162。(x)在(a，b)(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點 （ ）A．1個B．2個C．3個D．4個8．函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）A．[0，] B．(－∞，0)∪[，＋∞)C．[，1] D．[，]8．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ）A．(，) B．(π，2π)C．(，) D．(2π，3π)9．下列圖象中，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f162。(x)≤0的解集為 （ ）A．[－，1]∪[2，3) B．[－1，]∪[，]C．[－，]∪[1，2) D．(－，－]∪[，]∪[，3)6．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)－1(ω＞0)的導(dǎo)數(shù)f162。x2＝ （ ）A．9 B．－9 C．1 D．－12．函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上為增函數(shù)，在(－1，1)上為減函數(shù)，則f(1)為（ ）A． B．1 C． D．－13．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為 （ ）A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜1 D．0＜a＜4．已知函數(shù)f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2時有極值，其圖象在點(1，(1))處的切線與直線3x＋y＝0平行，則函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 （ ）A．(－∞，0) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)5．函數(shù)y＝f(x)在定義域(－，3)內(nèi)可導(dǎo)，＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f162。(x)＜0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80,120)時，h162。(x)=－=(0＜x≤120)，令h162。(t)＋0－V(t) ↗極大值↘由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e2＋50＝(億立方米)..【點評】　本題第(Ⅰ)主要是根據(jù)題設(shè)條件給出的函數(shù)建立不等式，再解不等式，(Ⅱ