【正文】 用數(shù)學(xué)歸納法證明an∈[0，1].(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1∈[0，1].(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak∈[0，1](k≥1)成立，則ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0，∴ak＋1∈[0，1]，這就是說(shuō)n＝k＋1時(shí)，an∈[0，1].由（1）、（2）知，當(dāng)c∈[0，1]時(shí)，知an∈[0，1]對(duì)所胡n∈N*成立.綜上所述，an∈[0，1]對(duì)任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1].（Ⅱ）設(shè)0＜c＜，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝0，結(jié)論成立.當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝can13＋1－c，∴1－an＝c(1－an1)(1＋an1＋an12)∵0＜c＜，由(Ⅰ)知an1∈[0，1]，所以1＋an1＋an12≤3，且1－an1≥0，∴1－an≤3c(1－an1)，∴1－an≤3c(1－an1)≤(3c)2(1－an2)≤…≤(3c) n1(1－a1)＝(3c) n1，∴an≥1－(3c)n1，n∈N*.(Ⅲ)設(shè)0＜c＜，當(dāng)n＝1時(shí)，a12＝0＞2－，結(jié)論成立.當(dāng)n≥2時(shí)，由（Ⅱ）知an≥1－(3c)n1＞0，∴an2≥[(1－(3c)n1)] 2＝1－2(3c)n1＋(3c)(n1)＞1－2(3c)n1，a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1]＝n－1－2[1＋3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1－1]＝n＋1－＞n＋1－.【點(diǎn)評(píng)】　本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，此類(lèi)試題在高考中點(diǎn)占有一席之地，(Ⅰ)小題實(shí)質(zhì)也是不等式的證明，題型三　求數(shù)列中的最大值問(wèn)題求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例5】　(08四川高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為_(kāi)_____.【分析】　根據(jù)條件將前4項(xiàng)與前5項(xiàng)和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差d的范圍，由此可確定a4的最大值.【解】　∵等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即，∴，∴≤a4≤3＋d，則5＋3d≤6＋2d，即d≤1.∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值為4.【點(diǎn)評(píng)】　本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系來(lái)求最值的，其中確定數(shù)列的公差d是解答的關(guān)鍵，同時(shí)解答中要注意不等式傳遞性的應(yīng)用.【例6】　等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)n取何值時(shí)，f(n)有最大值．【分析】　第(Ⅰ)小題首先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)，再求得f(n)的表達(dá)式；第(Ⅱ)小題通過(guò)商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過(guò)比較求得最值.【解】　(Ⅰ)an＝2002(－)n1，f(n)＝2002n(－)(Ⅱ)由(Ⅰ)，得＝，則當(dāng)n≤10時(shí)，＝＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，當(dāng)n≥11時(shí)，＝＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者．∵＝＝20023()30＝()3＞1，∴當(dāng)n＝12時(shí)，f(n)有最大值為f(12)＝200212()66．【點(diǎn)評(píng)】　本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：(1)利用商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較f(12)與f(9)(n)中各項(xiàng)的符號(hào)變化情況.題型四　求解探索性問(wèn)題數(shù)列與不等式中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】　已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使＞2成立.【分析】　第(Ⅰ)小題通過(guò)代數(shù)變換確定數(shù)列an+1與an的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列；而第(Ⅱ)小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進(jìn)行推理，確定此不等式成立的合理性.【解】　(Ⅰ)由題意，Sn＋an＝4，Sn+1＋an+1＝4，由兩式相減，得(Sn+1＋an+1)－(Sn＋an)＝0，即2an+1－an＝0，an+1＝an，又2a1＝S1＋a1＝4，∴a1＝2，∴數(shù)列{an}是以首項(xiàng)a1＝2，公比為q＝的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)，得Sn＝＝4－22n.又由＞2，得＞2，整理，得＜21k＜1，即1＜2 k 1＜，∵k∈N*，∴2k1∈N*，這與2k1∈(1，)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】　本題解答的整個(gè)過(guò)程屬于常規(guī)解法，但在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問(wèn)題中易忽視的一個(gè)陷阱.【例8】　(08湖北高考)已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足：a1＝λ，an+1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b,Sn為數(shù)列{bn}，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.【分析】　第(Ⅰ)小題利用反證法證明；第(Ⅱ)小題利用等比數(shù)列的定義證明；第(Ⅲ)小題屬于存在型問(wèn)題，解答時(shí)就假設(shè)a＜Sn＜b成立，由此看是否能推導(dǎo)出存在存在實(shí)數(shù)λ.【解】?。á瘢┳C明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使{an}是等比數(shù)列，則有a22＝a1a3，即(λ－3)2＝λ(λ－4)219。λ2－4λ＋9＝λ2－4λ219。9＝0，矛盾，所以{an}不是等比數(shù)列.(Ⅱ)解：因?yàn)閎n+1＝(－1)n+1[a n+1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n+1(a n－2n＋14)＝－(a n－3n－21)＝－b n，20090318又b1＝－(λ＋18)，所以當(dāng)λ＝－18時(shí)，bn＝0(n∈N*)，此時(shí){bn}不是等比數(shù)列；當(dāng)λ≠－18時(shí)，b1＝－(λ＋18)≠0，由上可知bn≠0，∴＝－(n∈N*).故當(dāng)λ≠－18時(shí)，數(shù)列{bn}是以－(λ＋18)為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng)λ＝－18，bn＝0(n∈N*)，Sn＝0，不滿(mǎn)足題目要求；.∴λ≠－18，故知bn＝－(λ＋18)(－)n1，于是S n＝－(λ＋18)[1－(－)n]要使a＜Sn＜b對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a＜－－(λ＋18)[1－(－)n]＜b，(n∈N*).得＜－(λ＋18)＜，(n∈N*) ①令f(n)＝1－(－)n，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1＜f(n)≤，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)≤f(n)＜1；∴f(n)的最大值為f(1)＝，f(n)的最小值為f(2)＝,于是，由①式得a＜－(λ＋18)＜b，∴－b－18＜λ＜－3a－18，(必須－b＜－3a，即b＞3a).當(dāng)a＜b＜3a時(shí)，由－b－18≥－3a－18，不存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題目要求；當(dāng)b＞3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b,且λ的取值范圍是(－b－18，－3a－18).【點(diǎn)評(píng)】　存在性問(wèn)題指的是命題的結(jié)論不確定的一類(lèi)探索性問(wèn)題，解答此類(lèi)題型一般是從存在的方面入手，尋求結(jié)論成立的條件，若能找到這個(gè)條件，則問(wèn)題的回答是肯定的；若找不到這個(gè)條件或找到的條件與題設(shè)矛盾，——推證——.【專(zhuān)題訓(xùn)練】一、選擇題1．已知無(wú)窮數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有 （ ）A．＜ B．≤ C．＞ D．≥2．設(shè){an}是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，bn＝an+1＋an+2，＝an＋an+3，則 （ ）A．bn＞ B．bn＜ C．bn≥ D．bn≤ 3．已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為正項(xiàng)等比數(shù)列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，則（ ）A．a(chǎn)6＝b6 B．a(chǎn)6＞b6 C．a(chǎn)6＜b6 D．a(chǎn)6＞b6或a6＜b6 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿(mǎn)足５＜ak＜８，則k＝ （ ）A．9 B．8 C．7 D．65．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，其前n項(xiàng)的和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是（ ）A．S4a5＜S5a4 B．S4a5＞S5a4 C．S4a5＝S5a4 D．不確定6．設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，則函數(shù)f(n)＝的最大值為 （ ）A． B． C． D．7．已知y是x的函數(shù)，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)順次成等差數(shù)列，則 （ ）A．y有最大值1，無(wú)最小值 B．y有最小值，無(wú)最大值C．y有最小值，最大值1 D．y有最小值－1，最大值1 8．已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是 （ ）Ａ．(－∞，－1] Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．[3，＋∞) Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．設(shè)b是1－a和1＋a的等比中項(xiàng)，則a＋3b的最大值為( )A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)等比數(shù)列{an}的首相為a1，公比為q，則“a1＜0，且0＜q＜1”是“對(duì)于任意n∈N*都有an+1＞an”的 （ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分比要條件 D．既不充分又不必要條件11．{an}為等差數(shù)列，若＜－1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n＝ （ ）A．11 B．17 C．19 D．2112．設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是 （ ）A．[，2) B．[，2] C．[，1) D．[，1]二、填空題13．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記Tn＝，如果存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，Tn≤M都成立．則M的最小值是__________．14．無(wú)窮等比數(shù)列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各項(xiàng)之和不大于a1的一半，則q的取值范圍是________.15．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是________.Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．416．等差數(shù)列{an}的公差d不為零，Sn是其前n項(xiàng)和，給出下列四個(gè)命題：①A．若d＜0，且S3＝S8，則{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大項(xiàng)；②給定n，對(duì)于一定k∈N*(k＜n)，都有ank＋an+k＝2an；③若d＞0，則{Sn}中一定有最小的項(xiàng)；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak1同號(hào)其中真命題的序號(hào)是____________.三、解答題17．已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)；（Ⅱ）求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值．18．已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(，an+1)(n∈N*）在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若列數(shù)｛bn｝滿(mǎn)足b1＝1,bn+1＝bn＋2an，求證：bn bn+2＜b2n+1.19．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0，1)，an＝，n＝2，3，4，….（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)．20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(－1)( an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝，n＝1，2，3，….證明：＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，…21．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f162。(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m；22．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，（），是常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求及的值；（Ⅱ）數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有．【專(zhuān)題訓(xùn)練】參考答案一、選擇題1．B 【解析】a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a12＋10a1d＋21d2，a62＝(a1＋5d)2＝a12＋10a1d＋25d2，故≤.2．D 【解析】設(shè)其公比為q,則bn－＝an(q－1)(1－q2)＝－an(q－1)2(q＋1)，當(dāng)q＝1時(shí)，bn＝ ，當(dāng)q＞0，且q≠1時(shí)，bn＜，故bn≤.3．B 【解析】因?yàn)閝≠1，b1＞0，b11＞0，所以b1≠b11，則a6＝＝＞＝b6.4．B 【解析】因數(shù)列為等差數(shù)列，an＝Sn－Sn1＝2n－10，由5＜2k－10＜8，得到k＝8.5．A 【解析】S4a5－S5a4 ＝(a1＋a2＋a3＋a4)a4q－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)a4＝－a1a4＝－a12q3＜0，∴S4a5＜S5a4．6．D 【解析】由Sn＝，得f(n)＝＝＝≤＝，當(dāng)n＝，即n＝8時(shí)取等號(hào)，即f(n)max＝f(8)＝．7．B 【解析】由已知y＝－(sinx－)2＋1，且sinx＞，y＜1，所以當(dāng)sinx＝1時(shí)，y有最小值，無(wú)最大值.8．D 【解】∵等比數(shù)列{an}中a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2(＋1＋q)＝1＋q＋.∴當(dāng)公比q＞0時(shí)，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，當(dāng)公比q＜0時(shí)，S3＝1－(－q－)≤1－2＝－1，∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).9．B 【