高三數(shù)學(xué)圓及直線與圓的位置關(guān)系(參考版)
2024-11-14 07:56本頁(yè)面
【正文】 | BD | ＝ 2 4 － d21 | MQ |， 10 分 即 x2＋ ( y － 2 )2a2＋ 4 ＝ 1 ② 由 ① 及 ② 消去 a ，并注意到 y ≠ 2 ，可得 x2＋ ( y －74)2＝116( y ≠ 2 ). 1 2 分 解決直線與圓的綜合問題，一方面要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法 ( 即幾何問題代數(shù)化 ) ，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的運(yùn)算，使問題得到解決，另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，因此要善于動(dòng)手，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘出幾何圖形中所隱含的條件 ( 性質(zhì) ) ，利用幾何知識(shí)使問題得到較快速的解決． 1 ． (2 0 0 9 年陜西高考 ) 過原點(diǎn)且傾斜角為6 0 176。 | MQ |，得 | MQ |＝ 3 ， 在 Rt △ MO Q 中， | OQ |＝ | MQ |2－ | MO |2＝ 32－ 22＝ 5 .2 分 故 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 5 ， 0) 或 ( － 5 ， 0) ， 所以直線 MQ 的方程是 2 x ＋ 5 y － 2 5 ＝ 0 或 2 x － 5 y ＋ 2 5 ＝ 0 . 4 分 (2 ) 證明：設(shè) Q ( a , 0) ，由題意知 M ， A ， Q ， B四點(diǎn)共圓，直徑為 MQ ，設(shè) R ( x ， y ) 是該圓上任一點(diǎn)， 由 MR→ 2 ， ∴ a ＝ 177。2 時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)； (3 ) 當(dāng) Δ ＜ 0 ，即 b ＞ 2 或 b ＜－ 2 時(shí)無公共點(diǎn) ． 圓與圓的位置關(guān)系 已知圓 M ： x2＋ y2－ 2 mx － 2 ny ＋ m2－ 1 ＝ 0與圓 N ： x2＋ y2＋ 2 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0 交于 A 、 B兩點(diǎn) ， 且這兩點(diǎn)平分圓 N 的圓周 ， 求圓 M的圓心的軌跡方程 ， 并求其中半徑最小時(shí)圓 M 的方程 ． 【 思路點(diǎn)撥 】 先由兩圓方程求出直線 AB的方程，則由題意知 AB過 N的圓心，半徑最小可轉(zhuǎn)化為圓心到 AB的距離最?。? 【解析】 由圓 M 的方程知圓心 M ( m ， n ) ． 又由方程組????? x2＋ y2－ 2 mx － 2 ny ＋ m2－ 1 ＝ 0x2＋ y2＋ 2 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0 得直線 AB 的方程為 2( m ＋ 1) x ＋ 2( n ＋ 1) y － m2－1 ＝ 0. 又 AB 平分圓 N 的圓周， 所以圓 N 的圓心 N ( － 1 ，－ 1) 在直線 AB 上 ， ∴ 2( m ＋ 1 )( － 1) ＋ 2( n ＋ 1 )( － 1) － m2－ 1 ＝ 0. ∴ m2＋ 2 m ＋ 2 n ＋ 5 ＝ 0 即 ( m ＋ 1)2＝－ 2( n ＋2 )( * ) ∴ ( x ＋ 1)2＝－ 2( y ＋ 2) 即為點(diǎn) M 的軌跡方程 ． 又由題意可知當(dāng)圓 M 的半徑最小時(shí)，點(diǎn) M到 AB 的距離最小，此時(shí) | MN |也最小 ． d ＝ ( m ＋ 1 )2＋ ( n ＋ 1 )2 ＝ － 2 ( n ＋ 2 ) ＋ ( n ＋ 1 )2＝ n2－ 3 . 由 ( * ) 可知 n ≤ － 2 ， ∴ d ≥ 1. 即最小值為 1 ，此時(shí) m ＝－ 1 ， n ＝－ 2. 故此時(shí)圓 M 的方程為 ( x ＋ 1)2＋ ( y ＋ 2)2＝ 5. 1. 判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之 間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法 ． 2 ． 若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 x2， y2項(xiàng)即可得到 ． 3 ． 兩圓公切線的條數(shù) (1 ) 兩圓內(nèi)含時(shí)，公切線條數(shù)為 0 ； (2 ) 兩圓內(nèi)切時(shí)，公切線條數(shù)為 1 ； (3 ) 兩圓相交時(shí)，公切線條數(shù)為 2 ； (4 ) 兩圓外切時(shí)，公切線條數(shù)為 3 ； (5 ) 兩圓相離時(shí)，公切線條數(shù)為 4. 因此求兩圓的公切線條數(shù)主要是判斷兩圓的位置關(guān)系，反過來知道兩圓公切線的條數(shù)，也可以判斷出兩圓的位置關(guān)系 ． 2 ．已知點(diǎn) A (1 ， a ) ，圓 x2＋ y2＝ 4. (1 ) 若過點(diǎn) A 的圓的切線只有一條，求 a 的值及切線方程． (2 ) 若過點(diǎn) A 且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為 2 3 ，求 a 的值． 【解析】 (1 ) 由于過點(diǎn) A 的圓的切線只有一條，則點(diǎn) A 在圓上，故 12＋ a2＝ 4 ， ∴ a ＝ 177。5 10 － 3 時(shí)，直線與圓相切； b ＜－ 5 10 － 3 或 b ＞ 5 10 － 3 時(shí)，直線與圓相離 ． (3 ) 證明：對(duì)于任一條平行于 l 且與圓相交的直線 l1： x － 3 y ＋ b ＝ 0 ，由于圓心到直線 l1的距離 d ＝|3 ＋ b |10( 與 m 無關(guān) ) ， 弦長(zhǎng)＝ 2 r2－ d2且 r 和 d 均為常量 ． ∴ 任何一條平行于 l 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等 ． 直線和圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法： (1 ) 第一種方法是方程的觀點(diǎn)，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立組成 方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用判別式 Δ 來討論位置關(guān)系，即 Δ ＞ 0 ? 直線與圓相交； Δ ＝ 0 ? 直線與圓相切； Δ ＜ 0 ? 直線與圓相離 ． (2 ) 第二種方法是幾何的觀點(diǎn)，即將圓心到直線的距離 d 與
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