雙曲線知識點(diǎn)總結(jié)例題(參考版)
2025-07-25 22:38本頁面
【正文】 13已知點(diǎn)N（1，2），過點(diǎn)N的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？解：（1）設(shè)直線AB：代入得 （＊） 令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），則xx2是方程的兩根 ∴ 且 ∵ ∴ N是AB的中點(diǎn) ∴ ∴ k = 1 ∴AB方程為：y = x + 1 （2）將k = 1代入方程（＊）得 或 由得， ∴ ，∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直線方程為 即代入雙曲線方程整理得 令，及CD中點(diǎn)則， ∴， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距離相等 ∴ A、B、C、D四點(diǎn)共圓 頁 29。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行檢驗，上述錯解沒有做到這一點(diǎn)，故是錯誤的。||＝，整理得m2＝，k≠③式得＋5－4k2＞0，整理得(4k2－5)(4k2－|k|－5)＞0，k≠0，解得0＜|k|＜或|k|＞.所以k的取值范圍是(－∞，－)∪(－，0)∪(0，)∪(，＋∞)．10．(文用)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，－1)，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2.又a2＋b2＝c2，得b2＝－y2＝1.(2)聯(lián)立整理得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直線與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)，∴可得m2＞3k2－1且k2≠.①設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為B(x0，y0)，則x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.由題意，AB⊥MN，∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)．整理得3k2＝4m＋1.②將②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－.∴m的取值范圍是(－，0)∪(4，＋∞)．11已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)AA2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、AA2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有，∴kl=∴l(xiāng)的方程為y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－428＜0,∴所求直線l不存在 12．已知雙曲線,問過點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。12，即－＝177。y＝0，設(shè)A(m,2m)，B(n，－2n)，AB中點(diǎn)M(x，y)，則即所以4x2－y2＝4mn.由|OA|(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，兩邊同除以a2，得e2－2e－1＝0.∵e＞1，∴e＝＋1.7．方程＋＝1表示雙曲線．那么m的取值范圍是________．解析：注意分兩種情況．一是實軸在x軸上，二是實軸在y軸上．依題意有或得m＞3或－3＜m＜2.8．(2012大連測試)在雙曲線4x2－y2＝1的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得|OA|ay＝0，又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－3)2＋y2＝4，半徑為2，圓心坐標(biāo)為(3,0)．∴a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4.∴該雙曲線的方程為－＝1.3.(2012嘉興測試)如圖，P是雙曲線－y2＝1右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點(diǎn)，A1，A2分別是左、右頂點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線PA1，PO，PA2的斜率分別為k1，k2，k3，則斜率之積k1k2k3的取值范圍是( )A．(0,1) B．(0，) C．(0，) D．(0，)解析：設(shè)P(x，y)，則∈(0，)，且x2－4＝4y2(x＞0，y＞0)，∴k1k2k3＝＝∈(0，)．4．(金榜預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)和C(5,0)，頂點(diǎn)B在雙曲線－＝1上，則為( )A. B. C. D.解析：由題意得a＝4，b＝3，c＝5. A、C為雙曲線的焦點(diǎn)，∴||BC|－|BA||＝8，|AC|＝10.由正弦定理得＝＝＝.5．P為雙曲線－＝1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為( )A．6 B．7 C．8 D．9解析：易知兩圓圓心為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)．由雙曲線方程知a＝3，b＝4，則c＝5，故兩圓心恰好為雙曲線的兩個焦點(diǎn)．|PM|－|PN|的最大值為如圖所示的情況，即|PM|－|PN|≤|PF1|＋|F1M|－(|PF2|－|NF2|)＝|PF1|＋2－|PF2|＋1＝2a＋3＝23＋3＝9.6．(2012南寧模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，P為該曲線上一點(diǎn)，若△PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為( )A.＋1 B.＋1C．2 D．2解析：不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a.∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90176。.∴.選B.【評注】解題中發(fā)現(xiàn)△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結(jié)果不是每個考生都能臨場發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.漸近線——雙曲線與
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