第六節(jié)多元函數(shù)的極值(參考版)
2025-07-23 20:22本頁(yè)面
【正文】 第六節(jié) 多元函數(shù)的極值 一、多元函數(shù)的極值 二、多元函數(shù)的最大值與最小值 三、條件極值 一、多元函數(shù)的極值 定義 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)任何點(diǎn) (x,y)的函數(shù)值恒有 f(x,y)≤f(x0,y0) (或 f(x,y)≥f(x0,y0))， 則稱點(diǎn) (x0,y0)為函數(shù)的 極大值點(diǎn) (或 極小值點(diǎn) ).f(x0,y0)為極大值 (或 極小值 )，極大值和極小值統(tǒng)稱為 極值 .極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為 極值點(diǎn) . 例 1 函數(shù) ，在原點(diǎn) (0,0)處取得極小值 ，對(duì)于任何點(diǎn) (x,y)≠(0,0)，都有 22 21),( yxyxf ???f(x,y)f(0,0)=1, 這個(gè)極小值也是最小值 .該函數(shù)的圖形是橢圓拋物面 .在曲面上點(diǎn) (0,0,1)的 z坐標(biāo)小于曲面上其他點(diǎn)的 z坐標(biāo) . 例 2 函數(shù) ，在原點(diǎn) (0,0)處取得極大值 (x,y)≠(0,0)，都有 f(x,y)f(0,0)=1 這個(gè)函數(shù)的圖形是橢圓拋物面 .在曲面上點(diǎn) (0,0,1)的 z坐標(biāo)大于曲面上其他點(diǎn)的 z坐標(biāo) . 22 21),( yxyxf ???定理 (極值存在的必要條件 ) 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值，且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有 .0),( ,0),( 0000 ?? yxfyxf yx證 由于 z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)取得極值，所以當(dāng) y保持常量y0時(shí)，對(duì)一元函數(shù) z=f(x,y0)在點(diǎn) x0點(diǎn)也必有極值，根據(jù)一元函數(shù)極值存在的必要條件，得 .0),( 00 ?yxf x同理可證 .0),( 00 ?yxf y使 同時(shí)成立的點(diǎn) (x0,y0),稱為函數(shù) f(x,y)的駐點(diǎn) . 0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx容易看出駐點(diǎn) (0,0)不是函數(shù)的極值點(diǎn) . 注意 ：駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn) .例如，函數(shù)z=x2–y2，在點(diǎn) (0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零，即 .0)0,0( ,0)0,0( ?? yx zz 還要注意：極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn)，因?yàn)槠?
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