【正文】 (ii)假設(shè)當 )1( ?? kkn 時 , 1?ka ,則 )1(1 ??? kkn 時 , 2121 1 kkk aaa ??? ?? 從而 12 1121 ???? ??? nkk aaa ,所以 10 ?? ?ka 所以綜上有 10 ?? na ,故 nnnn aaaa ???? ?? 1221 0 (2)因為 1221 1 ?? ??? nnn aaa 則 22122 1 aaa ??? , 32223 1 aaa ??? ,… , 1221 1 ?? ??? nnn aaa ,相加后可以得到 : 2111322121 )( ???? ????????? nnnn anSaaanaa ?,所以 21 2 ????? nanS nn ,所以 2??nSn (3)因為 nnnn aaaa 21 2121 ???? ?? ,從而1121?? ?? n nn aaa ,有nnn aaa 21 1 11 ?? ??,所以有 21 1231113 2222)1)(1()1(1 aaaaaaaaaaa n nnnnnnn ? ???? ?????? ??,從而 11221 11321 21 12)1)(1()1)(1)(1( 1 ??? ?? ????????? nnn nnn aaaaaaaaa ?,所以 22221321 21 12)1()1)(1)(1( 1 ????????? n nn nn aaaaaaaa ?,所以 31115 22 121211 112221 11 22222432 ??????????????????? ?? nn nn aaaaaT ?? 所以綜上有 3?nT . 例 61.(2020 年陜西省高考試題 )已知數(shù)列 {}na 的首項1 35a?,1 321nn naa a? ? ?, 12n?， ， ． 18 (1)證明 :對任意的 0x? ,21 1 21 (1 ) 3n naxxx ???????? ??≥, 12n?， ， 。 (2) 2??nSn 。f ? ∴ (0) ? （ Ⅱ ）解：任取 12, [0,1],xx? 且設(shè) 12,xx? 則 2 1 2 1 1 2 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 3 ,f x f x x x f x f x x? ? ? ? ? ? ? 因為 210xx??，所以 21( ) 3f x x??，即 21( ) 3 0,f x x? ? ? ∴ 12( ) ( )f x f x? . ∴ 當 x? [0,1]時， ( ) (1) 4f x f??. （ Ⅲ ）證明：先用數(shù)學歸納法證明：11( ) 3( *)33nnf n N??? ? ? （ 1） 當 n=1 時，00( ) (1) 4 1 3 3ff? ? ? ? ? ?，不等 式成立； （ 2） 假設(shè)當 n=k 時，11( ) 3( *)33kkf k N??? ? ? 15 由11 1 1 1 1 1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 33 3 3 3 3 3 3k k k k k k kf f f f? ? ? ? ? ? ? ? 111( ) ( ) ( ) 6333kkkfff? ? ? ? 得111 1 13 ( ) ( ) 6 3 3k k kff??? ? ? ? 即當 n=k+1 時，不等式成立 由（ 1）、（ 2）可知，不等式11( ) 333nnf ????對一切正整數(shù)都成立 . 于是，當111( , ]( 1, 2,3, )33nnxn?? ? ???時，111 1 13 3 3 3 3 ( )3 3 3n n nxf??? ? ? ? ? ? ?， 而 x? [0,1]， ??fx單調(diào)遞增 ∴111( ) ( )33nnff?? 所以，11( ) ( ) 3 x f x?? ? ? 例 50. 已知： 12 1, 0nia a a a? ? ? ? ? )21( ni ?? 求證： 22221121 2 2 3 1 1 12nnn n naaaaa a a a a a a a??? ? ? ? ?? ? ? ? 解析 :構(gòu)造對偶式：令1212 132222121 aa aaa aaa aaa aAn nnn n ????????? ? ?? 1211232232122 aa aaa aaa aaa aBnnnn ??????????? 則1212122 1322322212221 aa aaaa aaaa aaaa aaBAnnnnnn ????????????????? ＝ BAaaaaaaaa nnn ??????????? ? ,0)()()()( 113221 ? 又 ? )(2122 jiji ji aaaa aa ???? （ )2,1, nji ?? 1212122 1322322212221 )(21)(21 aa aaaa aaaa aaaa aaBAAnnnn nn ??????????????????? ? ?21)()()()(41 113221 ?????????? ? aaaaaaaa nnn? 十二 、 部分放縮 (尾式放縮 ) 例 : 74123 1123 113 1 1 ????????? ?n? 解析 : 1211 23 123 12811123 17141123 1123 113 1 ??? ???????????????????? nnn ??? 7484488447211 41312811 ??????? 例 56. 設(shè) ???ana 211 .2,131 ??? an aa ?求證： .2?na 解析 : ???ana 211 .131211131 222 nn aa ??????? ?? 又 2),1(2 ????? kkkkkk （只將其中一個 k 變成 1?k ，進行部分放縮），kkkkk 111)1( 112 ??????， 于是 )111()3121()211(1131211 222 nnna n ?????????????? ??.21??? n 例 57. 設(shè)數(shù) 列 ??na 滿足 ? ??? ???? Nnnaaa nnn 121 ，當 31?a 時 證明對所有 ,1?n 有 2)( ??nai n ； 16 211 11 11 1)( 21 ??????? naaaii ? 解析 : )(i 用數(shù)學歸納法：當 1?n 時顯然成立，假設(shè)當 kn? 時成立即 2??kak ，則當 1??kn 時 312)2(1)2(1)(1 ?????????????? kkkkakaaa kkkk ，成立。 當然，本題每小題的證明方法都有 10多種 ,如使用上述例 5所提供的假分數(shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造 “分房問題 ”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文 [1]。 以nba 211,1 ???代入（ ? ）式得 .4)211(21)211(1 2 ?????? nn nn 此式對一切正整數(shù) n 都成立，即對一切偶數(shù)有 4)11( ??nn，又因為數(shù)列 }{na 單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù) n有 4)11( ??nn。),2()22()1ln)(22()22(ln)22()22(ln)]()()([21)(ln)()1ln()1ln()1ln()()2(39。39。39。1 ????? ? nfCfCfCnS nnnn ?求證： )2()22()( 39。139。2lnx(k∈ N*).k 是奇數(shù) , n∈ N*時 , 求證 : [f’(x)]n－ 2n－ 1 解析 :由 22221 ( 2 ) ( 1)( ( ) )( (1) 1)2 2 ( 2 )xxf x f x? ? ?? ? ? ?知 1( ( ) )( (1) 1) 02f x f? ? ? 即 1 ( ) 12 fx? ? ? 由此 再由 ()fx的單調(diào) 性可以知道 ()fx的最小值為 12?，最大值為 1 因此對一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?的充要條件是， 1332abab?? ?? ? ????? ? ? ?? 9 即 a ， b 滿足約束條件331 321 32abababab? ?????????? ? ????? ? ???， 由線性規(guī)劃得， ab? 的最大值為 5． 九 、 均值不等式放縮 例 .)1(3221 ??????? nnS n ?求證 .2 )1(2 )1( 2???? nSnn n 解析 : 此數(shù)列的通項為 .,2,1,)1( nkkka k ???? 212 1)1( ??????? kkkkkk?， )21(11 ?? ?? ???? nknnk kSk， 即 .2 )1(22 )1(2 )1( 2??????? nnnnSnn n 注： ① 應(yīng)注意把握放縮的 “度 ”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式2baab ??，若放成 1)1( ??? kkk 則得2 )1(2 )3)(1()1( 21 ??????? ?? nnnkS nkn，就放過 “度 ”了！ ② 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來 選取所需要的重要不等式，這里 n aan aaaaaa n nnn nn22111111 ????????? ???? 其中， 3,2?n 等的各式及其變式公式均可供選用。 7 解析 :首先求出 xxxf 2)( 2?? ,∵nn nnnnfbn 12)( 323 ???? ∴nbbbbT nn 131211321 ?????????? ??,∵214124131 ????,218148171615 ??????,… 212122122 112 1 111 ???????? ??? kkkkk ?,故當 kn 2? 時 , 12?kTn, 因此，對任何常數(shù) A，設(shè) m 是不小于 A 的最小正整數(shù)， 則當 222 ?? mn 時 ,必有 AmmTn ????? 12 22. 故不存在常數(shù) A 使 ATn? 對所有 2?n 的正整數(shù)恒成立 . 例 24.(2020年 中學教學參考 )設(shè)不等式組??????????nnxyyx3,0,0 表示的平面區(qū)域為 nD ,設(shè) nD內(nèi)整數(shù)坐標點的個數(shù)為 na .設(shè)nnnn aaaS 221 111 ???? ?? ?, 當 2?n 時 ,求證 :36 1171111 2321 ?????? naaaa n?. 解析 :容易得到 nan 3? ,所以 ,要證36 1171111 2321 ?????? naaaa n?只要證12 11721312112 ??????? nS nn ?,因為nnnnS 2122 112 1()81716151()4131(211 112 ??????????????? ?? ?? 12 117)1(12723211 121 222 ??????????? ? nnTTT n?,所以原命題得證 . 五 、 迭代 放縮 例 25. 已知 1,14 11 ????? xxxx nnn,求證 :當 2?n 時 ,nni ix ?? ???? 11 22|2| 解析 :通過迭代的方法得到1212 ??? nnx,然后相加就可以得到結(jié)論 例 26. 設(shè)nn nS 2 !sin2 !2sin2 !1sin 21 ???? ?,求證 :對任意的正整數(shù) k,若 k≥n 恒有 :|Sn+k－ Sn|1n 解析 : |2 )s in(2 )!2s in(2 )!1s in(||| 21 knnnnkn knnnSS ???? ???????? ? knnnknnn knnn ?????? ??????????? 2 12 12 1|2 )s i n(||2 )!2s i n(||2 )!1s i n(| 2121 ?? nknkn 21)211(21)212121(21 2 ???????? ? 又 nCCC n