第25講平面向量的概念及運(yùn)算(參考版)
2025-07-02 16:57本頁面
【正文】 由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)。因此，學(xué)習(xí)階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個(gè)局部知識(shí)按照一定的觀點(diǎn)和方法組織成整體，形成知識(shí)體系。五．思維總結(jié)數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的“藍(lán)本”,能力是在知識(shí)傳授和學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。例12．求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量，3－2的終點(diǎn)在同一條直線上。題型6：平面向量綜合問題例11．已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。例10．（1）（06福建理，11）已知︱︱=1，︱︱=,=0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30176。因此，點(diǎn)C的軌跡為直線AB，由兩點(diǎn)式直線方程得即選D。再消去得，所以選取D。題型5：共線向量定理及平面向量基本定理例9．（2002天津文12，理10）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（－1，3），若點(diǎn)C滿足，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）A．3x+2y－11=0 B．（x－1）2+（y－2）2=5C．2x－y=0 D．x+2y－5=0解法一：設(shè)，則。此時(shí)，則，即此時(shí)向量與方向相反。（2），；（3）由題意得，得或。題型4：平面向量的性質(zhì)例7．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，回答下列問題：（1）求滿足的實(shí)數(shù)m,n；（2）若，求實(shí)數(shù)k；（3）若滿足，且，求。得方程組，解之得。解析：設(shè)，則因?yàn)槭桥c的交點(diǎn)，所以在直線上，也在直線上。解析：設(shè)D(x,y)，則∵得所以。點(diǎn)評(píng)：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則，求解時(shí)兼顧到向量的性質(zhì)。解析：①原式= ；②原式= ；③原式= 。（2）C．（3），故選A。因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO，所以，=＋，= =+，由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=＋=+=++=2+，同樣在平行四邊形 BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－。題型2：平面向量的運(yùn)算法則例2．（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量， 表示出來。綜上所述，答案選D。為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想。點(diǎn)評(píng)：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。③正確；∵ =，∴ ，的長度相等且方向相同；又＝，∴ ，的長度相等且方向相同，∴ ，的長度相等且方向相同
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