線性代數(shù)試題及答案綜合測試題資料(參考版)
2025-07-01 21:51本頁面
【正文】 . ，|A|=2，則 |2A1| = . ,則2A+B= . ，則(AB)1= . . ，r和t的關(guān)系是 . ，則t = . ，則k = . ，寫出二次型f的矩陣A= . ,3,0，則A的秩r(A)= .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）. =，且A+X=XA，求X.=，已知r(A)=2，求a, b的值.，(1)問常數(shù)a1，a2，a3滿足什么條件時(shí)，方程組有解？(2)當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出其通解(用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).=，求正交矩陣Q，使得Q1AQ=Λ.其中，Λ是對角矩陣.，求a的取值范圍.四、證明題（本大題共6分）27. 設(shè)向量組線性無關(guān)，可由線性表示，：向量組線性無關(guān).綜合測試答案綜合試題一參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號12345678910答案BDABBCCDDD二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11. 15； 12. 0； 13. 4； 14. t=3； 15. 0； 16. nr； 17.(1, 1, 2)； 18. 1，1，4； 19.； , 2, 3.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）：==x2y2.：令A(yù)=, B=.因?yàn)?AE)=，所以.由AX=B，得：X=A1B=.：將已知向量按列構(gòu)成矩陣，并對其進(jìn)行行變換：.所以，極大無關(guān)組為 ：對方程組的增廣矩陣施以初等行變換：.若方程組有解，則，故a=5.當(dāng)a=5時(shí)，繼續(xù)施以初等行變換得：，原方程組的同解方程組為：為自由未知量，令x3=x4=0,得原方程組的一個(gè)特解：.與導(dǎo)出組同解的方程組為：為自由未知量，令分別取，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，所以，方程組的全部解為： ，其中，c1 ，c2為任意常數(shù).25. 解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，所以，A的特征值為：.對于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為： 對于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為： .因?yàn)槿A矩陣A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以， A相似于對角矩陣，且. ：====. 令，即，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：.四、證明題（本題6分）：因?yàn)?，所以線性無關(guān)（方法多樣），所以向量組是R3空間中的一個(gè)基. 綜合試題二參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號12345678910答案CDABDCBBDA二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．5 12．32 13． 14．15． 16．1 17．218． 19. E 20. 二、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．解：原式= 22．解： 方法1 得：. 所以，.方法2 |A|= ，= 所以，.方法3 .23．解：對矩陣A施行初等變換：.當(dāng)k=1時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=1；當(dāng)k= 2時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=2；當(dāng)k≠1且k≠2時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=3.24．解：將所給列向量構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)施初等行變換： ，所以，向量組的秩，向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為：，且有.25．解：對方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為：，其中x3, x4為自由未知量.令分別取得基礎(chǔ)解系：.方程組的通解為：. （c1 , c2為任意常數(shù)）26．解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，得矩陣A的所有特征值為：.對于，求方程組的基礎(chǔ)解系.，得基礎(chǔ)解系為，將此線性無關(guān)的特征向量正交化，得：.再標(biāo)準(zhǔn)化，得：對于解方程組.，方程組的基礎(chǔ)解系為，將其單位化，得：.令P=，Λ=，則P是正交矩陣，且P1AP=Λ.四、證明題（本大題共6分）：令，整理得：因?yàn)榫€性無關(guān)，所以 ，解得：， 故線性無關(guān). 綜合試題三參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號12345678910答案DBDBDCDDDC二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 13. 15.16.(3,4,3) 19. 三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題
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