線性代數(shù)練習(xí)冊附答案(參考版)
2025-07-01 20:37本頁面
【正文】 A的行向量組的一個極大無關(guān)組為(2,3,0,1)T, (1,2,1,2)T五. B＝2(A+E)1A =. 六. m=1, n=7, 基礎(chǔ)解系ξ=(1,0,1)T,特解 η*＝(3,1,0)T, 通解 x=kξ+η*.七. (1) k＝2 .(2), f ＝xTA1x＝ (3)A的特征值為1,1,1,3, B2－2E的特征值為–2,2,2, 6. ∣B2－3E∣＝－48 .八． α3＝(2, 2, 1)T,令，則P1AP＝Λ.A＝PΛP1＝PΛPT＝, A12＝PΛ12P1＝PEP1＝E.(aij)=0，A11≠0知方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，因此方程組的基礎(chǔ)解系只含一個非零解向量。1矩陣，設(shè)A=( A1, A2, B1,)，B=( A1, A2, B2)，|A|=2，|B|=3，求|A+2B|．4．設(shè)A, B都是n階方陣，試證：． 第3章 向量空間習(xí) 題1. 設(shè)α1=(1,1,1)T, α2=(0,1,2)T, α3=(2,1,3)T，計算3α12α2+α3．2. 設(shè)α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T,且3(α1 x)+2(α2+x)=5(α3+x) ,求向量x.3. 判別下列向量組的線性相關(guān)性: (1) α1=(1,3,1)T, α2=(2,6,2)T, α3=(5,4,1)T ；(2) β1=(2,3,0)T, β2=(1,4,0)T, β3=(0,0,2)T . 4. 設(shè)β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量組α1, α2, α3線性無關(guān)，證明向量組β1, β2, β3線性無關(guān)．5. 設(shè)有兩個向量組α1, α2, α3和 β1=α1α2+α3, β2=α1+α2α3, β3= α1+α2+α3，證明這兩個向量組等價.6. 求向量組α1=(1,2,1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(2,4,2)T, α4=(0,3,9)T的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.7. 設(shè)α1, α2,…, αn是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量ε1,ε2,…,εn能由它們線性表示，證明：α1, α2,…,αn線性無關(guān)．8. 設(shè)有向量組α1, α2, α3, α4, α5，其中α1, α2, α3線性無關(guān)，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均為不為零的實數(shù))，求向量組α1, α3, α4, α5的秩．9. 設(shè)矩陣A= (1,2,…,n), B=(n,n1,…,1)，求秩R(ATB). 10. 設(shè)矩陣，求A的秩，并寫出A的一個最高階非零子式.11. 已知矩陣，若A的秩R(A)=2，求參數(shù)t的值.12. 設(shè)，求A的列向量組的秩，并寫出它的一個極大無關(guān)組.13. 設(shè)A為n階矩陣，E為n階單位矩陣，證明：如果A2=A,則 R(A)+R(AE)=n． 14. 已知向量空間的兩組基為,和,，求由基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的過渡矩陣. 復(fù)習(xí)題三，已知A的秩為3，求k的值.2．設(shè)向量組A: α1, …,αs與B: β1,…,βr，若A組線性無關(guān)且B組能由A組線性表示為(β1,…,βr)＝(α1, …,αs)K，其中K為矩陣, 試證：B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)＝r. 3．設(shè)有三個n維向量組A：α1, α2, α3；B：α1, α2, α3, α4；C：α1, α2, α3, α5．若A組和C組都線性無關(guān)，而B組線性相關(guān)，證明向量組α1, α2, α3, α4α5線性無關(guān)．4．設(shè)向量組A: α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T 和B: β1=(1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,1)T(1) 證明：A組和B組都是三維向量空間的基；(2) 求由A組基到B組基的過渡矩陣；(3) 已知向量α在B組基下的坐標(biāo)為(1,2,1)T,求α在A組基下的坐標(biāo)． 第4章 線性方程組習(xí) 題1. 寫出方程組的矩陣表示形式及向量表示形式. ,其中
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