線性代數(shù)練習(xí)題(附答案)(參考版)
2025-07-01 20:31本頁面
【正文】 證明：令，兩邊左乘得：20。證明：若,則線性無關(guān)，而線性相關(guān)可由線性表示，且表示法唯一設(shè),則,從而線性相關(guān)。四．證明題：1． 設(shè)為實矩陣，為階實對稱矩陣且正定，證明：正定的充要條件是。解:(1), 標準形為, 正交變換矩陣為 6． 設(shè)4階方陣滿足條件，求方陣的伴隨矩陣的一個特征值。解: 同理 所以5． 已知二次型的秩為2 ，（1） 求參數(shù)及二次型對應(yīng)矩陣的特征值。解: 3． 已知三階實對稱矩陣的三個特征值為 1，1，2，且是對應(yīng)的特征向量，求矩陣。（）充分 （）必要 （）充要 （）既非充分也非必要三．計算題1． 已知是的特征向量，其中，求及所對應(yīng)的特征值。8）已知相似，則。6）n階矩陣具有n個不同的特征值是與對角陣相似的 充分 條件。4） 二次型是正定的，則的取值范圍是 。證明：設(shè)兩邊左乘A ，利用 從而有 線性無關(guān) 相似矩陣及二次型部分一． 填空題1）為3階矩陣，若有特征值 ，則2）設(shè)為階矩陣，為的伴隨矩陣，為階單位陣，若有特征值，則必有特征值；的特征值。證明：因為 r (I) = r (II) = 3 ，所以由于線性無關(guān)，得，所以 r (III) = 44． 設(shè)向量組是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，即。證明：三條直線交于一點有唯一解其中4．已知向量組（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）如果各向量組的秩分別為（Ⅰ）（Ⅱ）=，（Ⅲ）=。2． 證明：三個平面經(jīng)過同一條直線的充要條件是。解：，不能線性表示，四．證明題1． 已知，證明：向量共面。解： ，方程組有唯一解，方程組無解，方程組有無窮多解 7． 已知及，問：（1）為何值時，不能由線性表示。解：5． 設(shè)三元非齊次方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，且它的三個解向量滿足求的通解。解：3． 已知方程組 的解空間的維數(shù)為2，求方程組的通解。 二．選擇題1．設(shè)直線，平面，則（ B ）（A）與平行 （B）與垂直 （C）在 上 （D）與
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