(整理)高中函數(shù)值域的求法(參考版)
2025-06-28 04:51本頁面
【正文】 。解：令，則∴當(dāng)時，當(dāng)時，此時都存在，故函數(shù)的值域為注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運用的有界性。解：令，則（1）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時取等號，所以（2）當(dāng)t=0時，y=0。 例21. 求函數(shù)的值域。由可得：故原函數(shù)的值域為： 10. 一一映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應(yīng)的。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時，等號成立故原函數(shù)的值域為： 例20. 求函數(shù)的值域。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。即：由圖可知：（1）當(dāng)點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè)。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為 例18. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。解：由，可得故可令∵當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的值域為： 8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。解：令，則由且可得：∴當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的值域為。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時，當(dāng)時，而此時有意義。解：令，則∵又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，當(dāng)時，故函數(shù)的值域為 例12. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域為 7. 換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即∵∴即解得：故函數(shù)的值域為 6. 函數(shù)單調(diào)性法 例9. 求函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)的值域。 例6. 求函數(shù)值域。∵代入方程（1）解得：即當(dāng)時，原函數(shù)的值域為：注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。解：兩邊平方整理得：（1）∵∴解得：但此時的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為。解：將函數(shù)配方得：∵由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時，當(dāng)時，故函數(shù)的值域是：[4，8] 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域。解：∵故函數(shù)的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例1. 求函數(shù)的值域。1且 y185。2) 由此可得 y185。1且 y185。3} ∴再檢驗 y=1 代入①求得 x=2 ∴y185。 定義域
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