(整理)高中函數(shù)值域的求法(文件)
【正文】 ，y=6,∴在[0,1]上，=3，=6；值域為[3，6].注：對于二次函數(shù),⑴若定義域為R時， ①當(dāng)a0時，則當(dāng)時，其最小值； ②當(dāng)a0時，則當(dāng)時，其最大值。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。它的應(yīng)用十分廣泛。小結(jié)：已知分式函數(shù) ，如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解。一、判別式法求值域的理論依據(jù)例 求函數(shù)的值域象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。事實上，時，方程（＊）的二次項系數(shù)為0，顯然不能用“”來判定其根的存在情況。錯因：解中函數(shù)式化為方程時產(chǎn)生了增根（與雖不在定義域內(nèi)，但是方程的根），因此最后應(yīng)該去掉與時方程中相應(yīng)的值。故函數(shù)得值域為。四、注意變量代換中新、舊變量取值范圍的一致性例4：求函數(shù)的值域。故函數(shù)得值域為。1時 ∵x206。3} ∴再檢驗 y=1 代入①求得 x=2 ∴y185。2) 由此可得 y185。 例1. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：∵由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時，當(dāng)時，故函數(shù)的值域是：[4，8] 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域?！叽敕匠蹋?）解得：即當(dāng)時，原函數(shù)的值域為：注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。 例7. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域為 7. 換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時，當(dāng)時，而此時有意義。解：由，可得故可令∵當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的值域為： 8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為 例18. 求函數(shù)的值域。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。由可得：故原函數(shù)的值域為： 10. 一一映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應(yīng)的。解：令，則（1）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時取等號，所以（2）當(dāng)t=0時，y=0。解：令，則∴當(dāng)時，當(dāng)時，此時都存在，故函數(shù)的值域為注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運用的有界性。 例21. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時，等號成立故原函數(shù)的值域為： 例20. 求函數(shù)的值域。即：由圖可知：（1）當(dāng)點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點P恰好為直線AB與x軸的交點
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