(整理)高中函數(shù)值域的求法(完整版)
【正文】 式可化為 解法二：（不等式法）1）當(dāng)時(shí)，2） 時(shí)，綜合1）2）知，原函數(shù)值域?yàn)槔?6 (選) 求函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故值域?yàn)槔?7 （選） 求函數(shù)的值域解：（換元法）令 ，則原函數(shù)可化為。設(shè)f(x)=4x,g(x)= －,(x≤1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y≤4/3｝。 求值域問題利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0}，值域?yàn)閧y|y0}；二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a0時(shí)，值域?yàn)閧}；當(dāng)a0時(shí)，值域?yàn)閧}.例1 求下列函數(shù)的值域① y=3x+2(1x1) ② ③ （記住圖像） 解：①∵1x1，∴33x3，∴13x+25，即1y5，∴值域是[1，5]②略③ 當(dāng)x0，∴=，當(dāng)x0時(shí)，=－∴值域是[2，+).（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：例2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：①； ②；③； ④； 解：∵，∴頂點(diǎn)為(2,3)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2. ①∵拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R，∴x=2時(shí)，ymin=3 ,無最大值；函數(shù)的值域是{y|y3 }.②∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[3,4]，當(dāng)x=3時(shí)，y= 2；x=4時(shí)，y=1； ∴在[3,4]上，=2，=1；值域?yàn)閇2，1].③∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2 [0,1]，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=1時(shí)，y=2,∴在[0,1]上，=2，=1；值域?yàn)閇2，1].④∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2 [0,5]，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=2時(shí)，y=3, x=5時(shí)，y=6,∴在[0,1]上，=3，=6；值域?yàn)閇3，6].注：對(duì)于二次函數(shù),⑴若定義域?yàn)镽時(shí)， ①當(dāng)a0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最小值； ②當(dāng)a0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最大值。它的應(yīng)用十分廣泛。一、判別式法求值域的理論依據(jù)例 求函數(shù)的值域象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。錯(cuò)因：解中函數(shù)式化為方程時(shí)產(chǎn)生了增根（與雖不在定義域內(nèi)，但是方程的根），因此最后應(yīng)該去掉與時(shí)方程中相應(yīng)的值。四、注意變量代換中新、舊變量取值范圍的一致性例4：求函數(shù)的值域。1時(shí) ∵x206。2) 由此可得 y185。解：將函數(shù)配方得：∵由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是：[4，8] 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)? 例18. 求函數(shù)的值域。由可得：故原函數(shù)的值域?yàn)椋? 10. 一一映射法原理：因?yàn)樵诙x域上x與y是一一對(duì)應(yīng)的。 例21. 求函數(shù)的值域。即：由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河衫?7，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距
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