拉普拉斯變換在求解微分方程中應(yīng)用(參考版)
2025-06-27 22:59本頁面
【正文】 在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，本論文順利完成，還有許多可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意！。不僅使我樹立了遠(yuǎn)大的學(xué)術(shù)目標(biāo)、掌握了基本的研究方法，還使我明白了許多待人接物與為人處事的道理。 partial differential equation。 Laplace inverse transform。靈活使用拉普拉斯變換，可以巧妙地推出一些復(fù)雜問題的答案，便于學(xué)生理解進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量。相比之下，算子法要先將方程化為算子形式然后利用算子的性質(zhì)進(jìn)行分解，對初學(xué)者而言要求相對較高，然而算子法卻具備比較系數(shù)法和常數(shù)變易法無法具備的應(yīng)用條件，有適應(yīng)面廣、計算量小、準(zhǔn)確度高、簡單易行的特點(diǎn)。而在微分方程的一般解法中，會遇到很多困難；⑹用拉普拉斯變換方法求解微分方程組，可以在不知道其余未知函數(shù)的情況下單獨(dú)求出某一個未知函數(shù)。忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計）20而在微分方程的一般解法中，不會因此而有任何簡化；⑷用拉普拉斯變換求解微分方程，對于自變量是零的初始條件，求其特解是非常方便的。而在微分方程的一般解法中，并沒有任何限制；⑵用拉普拉斯變換方法求解微分方程，由于同時考慮初始條件，求出的結(jié)果便是需要的特解。1 )()(][ ??? ?????由位移性質(zhì) ,)tLfFs????可知 .22][ )4(41 22 htaxhttaxxahs etete ????? ?????由卷積定理 ),()](11sffL?可得 ,[[),(0xahsesutxU????令 最后可得該定解問題的解為,2??a?? ?????? ??? ????taxahxt thtax taxxahs deudetaxutLsx 2)4(00 )]()(4[0 )4(0101 .)()(2][),( 22 2???????5 綜合比較，歸納總結(jié)從以上的例題可以看出，用拉普拉斯變換方法求解微分方程有如下的優(yōu)缺點(diǎn) [1~13]： ⑴拉普拉斯變換對像函數(shù)要求比傅里葉變換弱，其使用面更寬。 fsFtfL39。suUx0?012ucs??將邊界條件 代入上式，可得 .0lim???x 1c因此， .2ucs所以， .0(,)shxaUxe???從而 ，110(,)[(,][]shxautLse???）由拉普拉斯變換函數(shù)表 ，可知 。根據(jù)周期函數(shù)的拉普拉斯變換式，其中??????.,0,2asdxlx?忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計）17表明 是以 為周期的周期函數(shù)，即sale41)(??)(t?al4?????lssasal deetL404 ,)(1)]([ ??由拉普拉斯變換函數(shù)表 ),(][4tLsal???并結(jié)合延遲定理 ),()][010tfFest?可知 .)([41 axltultLsaxlsl ??????同理可知 ).()(]1)([4 axltultessaxll ????????).3()(])([34 ltlteLsaxlsl???).()(]1)([34 axltuxltsaxlsl ????????方程兩邊取反演，從而原定解問題的解為 ).3()()3()( )(],[,1 axltuxltaxltuxlt axltusULu ????? ??????其中 為單位階躍函數(shù)，a即 ??????.0,1)(u例：求解無界偏微分方程[2]????????.0( ),0x,2txu thuat常 數(shù) ） ， 為 常 數(shù) ） ， （忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計）18解：對該問題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換，記),()],([sxUtuL?,0utx???,)],([][ 222dtLxu?.][00suUxx??這樣，原定界問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問題：?????????? .(0lim,022為 自 然 定 解 條 件 ）Usuahsdxx解此微分方程可得通解為,其中 , 為常數(shù)。,),(21xasxasecU???21,c為確定常數(shù) ，將邊界條件 代入上式，可得 即21,c0?x ,021??c。21,c為了確定常數(shù) 將邊界條件 代入上式，,21c0lim,0????Usx可得 ,031sgc??所以， .)1(),( 33 saxxasegexU???由拉普拉斯變換函數(shù)表 可知,]![1ntsL?? .2][31tgsL??由拉普拉斯變換函數(shù)表 并結(jié)合延遲定理n? ),()][010tfsFet???可知 ).()(2][231 axtutgesLax???方程兩邊取反演，從而原定解問題的解為 ).()(2][)],([),( 2311 axtutgtesgLsxUtxuax ??????（或） ????????.,)(2。?L即 .012??sY整理成部分分式，有 .11)(222????s由拉普拉斯變換函數(shù)表 可知,co][21 tsL?? ,cos][21tsL??忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計）13由拉普拉斯變換函數(shù)表 可知,sin][21 tsL???? ,sin]1[21tL???對方程兩邊同時求反演，整理可得方程的解為 .ico)()(tYy?變量還原，得到原初值問題的解為 .cs2)4sin()cos(incos)(1,04()1,( xxxttyxyy ??????? ??4 拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用 齊次與非齊次偏微分方程例：求解齊次偏微分方程[2]??????????.3,),0(02yux解：對該定解問題關(guān)于 y 取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得),()],([sxUyuL?,0, 2xsu??? ,2][)]([][ 02 xdUsxuLxyxuLy?????,][200UuLxx??這樣，原定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問題：??????.3,20sUxdx忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計）14方程 可轉(zhuǎn)化為2sxdUs??2sxdUs??解此微分方程，可得其通解為 其中 c 為常數(shù)。?[8]39。39。21 ????nnnnn fsfstfL .][)]()([00)([ 39。)3( ??rqp由拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)性質(zhì) 以及)0()]([39。 ）設(shè) 對方程兩邊同時取拉普拉斯變換，得到)],([)tyLsY,0[39。39。0)(,)(, yxx設(shè)方程的解為 這樣，我們便將初值點(diǎn)平移到),(,0yxy??了 點(diǎn)，于是可用如下的拉普拉斯變換方法求解該初值問題。2039。39。()yxc??引理 2 若 為 n 階常系數(shù)線性齊次方程的一個解
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