【正文】 ②，得＋2＝8，即，∴， ∴．4．（1）Δ＝； （2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0． ①若x1≤0，x2≥0，則x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此時，方程為x2－2x－4＝0，∴，． ②若x1≥0，x2≤0，則－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，∴m＝0．此時，方程為x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2．5．設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－1，x1x2＝a， 由一根大于另一根小于1，得 (x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0， ∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2． 此時，Δ＝12－4(－2) ＞0， ∴實數(shù)a的取值范圍是a＜－2．2．2 二次函數(shù) 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)問題1 函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴大兩倍就可以了．y＝x2y＝2x2xOy再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑瑢W(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大?。畣栴}2 函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．類似地，還可以通過畫函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－ ，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：（1）當a＞0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減??；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函數(shù)取最小值y＝．（2）當a＜0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減?。划攛＝時，函數(shù)取最大值y＝． 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題．例1 求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象．解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；當x＝－1時，函數(shù)y取最大值y＝4；當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減??；采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤＝日銷售量y(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝kx＋（B）將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有 解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．設(shè)每天的利潤為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600，∴當x＝160時，z取最大值1600．答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．例3 把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，所以， 解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，等價于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點．今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題．例4 已知函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值． 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論． 解：（1）當a＝－2時，函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；（2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當x＝a時，函數(shù)取最小值y＝a2；（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0；（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函數(shù)取最大值y＝a2；當x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0．xyO－2a①xyO－2aa24－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題．練 習(xí)1．選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x （2）函數(shù)y＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2 （ ） （A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的 （B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的 （C）向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的 （D）向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的2．填空題（1）二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點坐標為(1，－2)，則m＝ ，n＝ ．（2）已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當m＝ 時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當m＝ 時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當m＝ 時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點．（3）函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開口向 ，對稱軸為 ，頂點坐標為 ；當x＝ 時，函數(shù)取最 值y＝ ；當x 時，y隨著x的增大而減?。?．求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出其圖象．（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3，當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大（小）值時所對應(yīng)的自變量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3． 二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中頂點坐標是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示．為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點個數(shù)．當拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0． ① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與方程①的解的個數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關(guān)系：（1）當Δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點，則Δ＞0也成立．（2）當Δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點，則Δ＝0也成立．（3）當Δ＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點，則Δ＜0也成立．于是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即 ＝－(x1＋x2)， ＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a() = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標．今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題． 例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝