【正文】 定理1（） 設(shè)在上依測(cè)度收斂于，.證明 對(duì)任何正整數(shù),取，.由于，所以存在正整數(shù)，使,=1,2，…，….取. 由于 ，所以.顯然在上，（其實(shí)也是一致收斂的）.作，則在上，.以及.再由上限集定義，則對(duì)任何自然數(shù)有.因此.從而得到.定理2（勒貝格Lebesgue）設(shè)（1） ；（2） ；（3） ，則.證明 由葉果洛夫的證明，對(duì)任意.對(duì)任意，存在,則，于是，即在上依測(cè)度收斂于..要注意，這個(gè)條件是不能去掉的（見例2）.再結(jié)合例1，在條件下，.定理3 設(shè)，則在上幾乎處處成立.證明 由于，故對(duì)任何自然數(shù),從而.令，即得 .但是，故，.例3 設(shè)，：存在定義在上的一列連續(xù)函數(shù)，使得.證明 由于涉及可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)之間關(guān)系，由魯津定理，對(duì)任何正整數(shù)，存在的可測(cè)子集，使得，同時(shí)存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，有，由此可得.因此，即，由里斯定理存在的子列，使得，.第四章習(xí)題解答：在上為可測(cè)函數(shù)的充要條件是對(duì)任一有理數(shù)，集可測(cè)，如果集可測(cè)，問是否可測(cè)？證明： 若對(duì)任有理數(shù)，可測(cè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，記是大于的一切有理數(shù)，則有，由可測(cè)得是可測(cè)的，所以是上的可測(cè)函數(shù).若對(duì)任有理數(shù)，可測(cè)，則不一定是可測(cè)得.例如，則對(duì)任意有理數(shù)，.2. 設(shè)為上可測(cè)函數(shù)列，證明它的收斂點(diǎn)集和發(fā)散點(diǎn)集都是可測(cè)的.證明： 由167。一般的可測(cè)函數(shù)可以說是“基本上連續(xù)”.定理1（魯津），則對(duì)任意，存在閉子集,使在上是連續(xù)函數(shù)，且.簡(jiǎn)言之，“基本上連續(xù)”的函數(shù).證明：從特殊到一般分三種情況來討論. 簡(jiǎn)單函數(shù)情形設(shè)，各可測(cè)互不相交，且當(dāng)，對(duì)于，由于是可測(cè)集，從而可知存在閉子集，,則為閉集且.下證所以限制在上是連續(xù)函數(shù).有界可測(cè)情形若有界，則由第一節(jié)定理，存在可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)列，由，存在閉集,，則為閉集且.由于在上連續(xù)，且一致收斂于，因此在上連續(xù).一般的可測(cè)函數(shù)情形由于，則在上有界可測(cè)，由，存在閉集，使得在上連續(xù).因?yàn)?，所以在上連續(xù)注：.先考慮簡(jiǎn)單函數(shù)，然后再往一般的可測(cè)函數(shù)過渡，在許多場(chǎng)合下是行之有效的方法..連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)，可測(cè)函數(shù)基本上都是連續(xù)函數(shù)..魯津定理的逆定理成立.定理：設(shè)是上有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意，存在閉集及整個(gè)上的連續(xù)函數(shù)（及依賴于），使得在上，及.證明：由定理，存在閉集，使在上連續(xù)且.下面將閉集上的連續(xù)函數(shù)延拓成整個(gè)上的連續(xù)函數(shù).由于是閉集，故是開集，從而是至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并集（這些區(qū)間中可能包括一到兩個(gè)無限長的區(qū)間），由于各的端點(diǎn)屬于，可將按下面方式在各中保持線性而且連續(xù)的延拓為：則為所求函數(shù)，事實(shí)上由的做法知，當(dāng)時(shí)有，并且有并且有及..下證中的點(diǎn)也是的連續(xù)點(diǎn).任取，對(duì)任何，因?yàn)樵谏线B續(xù)，必有，使得當(dāng)時(shí)，有.如果，所以在點(diǎn)左連續(xù).如果，設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，有，.因此 而當(dāng)時(shí)，那么有的構(gòu)成區(qū)間，由式，有.因?yàn)榈闹到橛谂c之間，因此對(duì)，式也成立，因此在點(diǎn)連續(xù).167。2定理9，.于是對(duì)任意和任意正整數(shù)存在，使.令.下證滿足定理要求得結(jié)論.由于,因此.為證在上一致收斂于，任取，存在，使，,因此，對(duì)任意，且對(duì)任意,成立，這就說明了在上一致收斂于.這個(gè)定理告訴我們，即使不一致收斂，也是“基本上”（指去掉一個(gè)測(cè)度可任意小的某點(diǎn)集外）.要注意當(dāng)時(shí)，.167。2 葉果洛夫定理在數(shù)學(xué)分析中知道，一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，.定理（葉果洛夫定理） 設(shè)，則對(duì)任意，存在子集，使在上一致收斂，且.證明 由條件，其中這是因?yàn)?用替代，不妨設(shè)，都是有限函數(shù)，且在上幾乎處處成立.由第一章167。用類似的方法還可以證明勒貝格測(cè)度的反射不變性，就是說，如果記是的如下映射，下面我們利用測(cè)度的平移不變性作一個(gè)不可測(cè)集.在直線上構(gòu)造一個(gè)集，要求對(duì)于，可取這樣的一列數(shù)，使得經(jīng)平移后得到的集有下面的性質(zhì)： 包含一個(gè)區(qū)間（例如）； 是一列互不相交的集，而且是有界集（例如）.在上不可能存在滿足所有一下條件的測(cè)度： 任何子集都可測(cè)； 的測(cè)度是，即測(cè)度具有正則性； 具有可數(shù)可加性； 測(cè)度對(duì)運(yùn)動(dòng)不變，即和全等，則和有相同的測(cè)度.然而如果退一步，只要有限可加，那么在和存在著巴拿赫測(cè)度，使得任何子集都可測(cè).在和上，存在著正則的（即的測(cè)度是）、有限可加的、對(duì)運(yùn)動(dòng)不變的測(cè)度，.第3章 習(xí)題解答1. 證明：若有界，則.證明： 有界，有 由下確界的定義，有 .2. 證明：可數(shù)點(diǎn)集的外側(cè)度為零.證明：設(shè)為可數(shù)點(diǎn)集，令對(duì)每一個(gè)存在一個(gè)開區(qū)間（取其邊長為的開區(qū)間，包含），使得 ，且. ，而..3. 設(shè)是直線上一有界集合，則對(duì)于任意小于的正數(shù)，恒有的子集，使.證明：設(shè)，上的連續(xù)函數(shù)：當(dāng)時(shí)， .于是當(dāng)時(shí)，即是右連續(xù)的.用類似的方法可證明時(shí)，所以是上的連續(xù)函數(shù).因此對(duì)任意正數(shù)，.4. 設(shè)…,是一些互不相交的可測(cè)集合，,求證…….證明：…可測(cè)，且互不相交.有 令 有, .5. 若，則可測(cè).證明：對(duì)點(diǎn)集，下證.由外側(cè)度的可數(shù)可加性有：.又 .可測(cè).6. 證明康托爾三分集的測(cè)度為零.證明：設(shè)，,…，為第次去掉的開區(qū)間.令.則 .令，則.則，.則. .，證明.證明： 是可測(cè)集，由卡拉泰奧多里條件. .另一方面，又有，由，所以，于是代入前式得 .8. 證明：若可測(cè)，則對(duì)于任意，恒有開集及閉集，使，而，.證明： 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，存在一列開區(qū)間，使，則為開集，且，因此 ，從而 . 當(dāng)時(shí)，總可表為可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測(cè)集的和；，對(duì)每個(gè)應(yīng)用上面結(jié)果，可找到開集，使且，令，為開集，且 .因此 .又當(dāng)可測(cè)時(shí)，也可測(cè)，所以對(duì)任意有開集， ，令，則是閉集，且.，存在兩列可測(cè)集，使得且 ，則可測(cè).證明：對(duì)任意，所以對(duì)任意i，.令 ，由，.12. 設(shè)是中可測(cè)集，若，證明，對(duì)任意可測(cè)集,.證明：令則可測(cè)，.則由于都可測(cè)，則都可測(cè)..且則，第四章 可測(cè)函數(shù)在本書的引言中，我們提到過，一種新的積分是曲邊梯形的面積“橫”著數(shù)，即把函數(shù)的值域分割成小段近似在中，. 然后求和，在取極限.我們要研究的數(shù)必須使得集合.如果是上的連續(xù)函數(shù)，.167。定理：區(qū)間（不論開、閉或半開半閉區(qū)間）都是可測(cè)集合，且.定理：凡開集、閉集都是可測(cè)集.定理：凡博雷爾集都是可測(cè)集.定理：設(shè)是任一可測(cè)集，則一定存在型集，使，且.證明：先證對(duì)，存在開集,使，且若：,對(duì)，有一列開集，使得，且,則，則為開集，且.，即因?yàn)?，從而因?yàn)?所以所以所以若：，則為無界集則它可以表示為可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測(cè)集即：（為有界可測(cè)集），存在一列開集，使得令，則為開集，且 依次取由證明中的存在開集，使.令，則為型集，且故定理：設(shè)是任一可測(cè)集，則一定存在型集，使，且.證明：因?yàn)榭蓽y(cè)，所以可測(cè)，由定理，使得且令記為所以：為型集因?yàn)椋?所以又所以結(jié)論成立.定理：若是一個(gè)可測(cè)集，則：是開集，（外正規(guī)性）：是緊集，（內(nèi)正規(guī)性）證明：若,則對(duì)于任意，所以式成立若，由定理，對(duì)，開集,使得，且因?yàn)? ,有 所以 .設(shè)為有界集，則存在有界閉區(qū)間,使得則對(duì)，開集,使得令為有界閉集，所以為緊集，因?yàn)橛忠驗(yàn)樗杂秩魹闊o界集，對(duì)，令則為一列單增的可測(cè)集,由第二節(jié)定理8可知由可知對(duì)每個(gè)，存在緊集，使得，且，167。4中介紹的不可測(cè)集來構(gòu)造），使得.這意味著，如果把外側(cè)度當(dāng)作測(cè)度看，使得任何集合都有測(cè)度，即設(shè)法在中找出某一類集合，在上能夠滿足測(cè)度公里呢？，對(duì)某些集合運(yùn)算應(yīng)該封閉，例如對(duì)中的集合作可數(shù)并（當(dāng)然對(duì)有限并也成立，只要添加可數(shù)個(gè)空集）、作交及作差的運(yùn)算后仍在中，而且對(duì)中一列互補(bǔ)相交的集合，有（1）. 其次，由測(cè)度公里3，所以也應(yīng)該包括.如何從中挑出集合類呢？（1）式的可加性條件來加以思考.，由于中任何開區(qū)間都屬于，由的運(yùn)算封閉性，所以由（1）式，應(yīng)該有（2）. 反之，如果存在某個(gè)開區(qū)間，使（2）式不成立，則自然不應(yīng)該屬于.由上可見，對(duì)于中點(diǎn)集是否屬于，我們可以用（2），我們還可以進(jìn)一步得到如下結(jié)論.引理 設(shè)，則（2）式對(duì)中任何開區(qū)間都成立的充要條件是對(duì)中任何點(diǎn)集都有（3）. 證明 ，則由外側(cè)度的定義，對(duì)于任何，有一列開區(qū)間，使得，且.但由于， ，故，.從而 .由于的任意性，即得.另一方面，顯然有，故.證畢.由上述引理，.定義 設(shè)為中的點(diǎn)集，如果對(duì)任意點(diǎn)集都有，.以下便根據(jù)定義1來推導(dǎo)測(cè)度的性質(zhì)，包括驗(yàn)證它確實(shí)滿足我們的要求.定理1 集合可測(cè)的充要條件是對(duì)于任意，總有.證明 ，則，所以.，令，則且，因此.定理2 可測(cè)的充要條件是可測(cè).證明 事實(shí)上，對(duì)于任意的，有由可測(cè)集合的定義知可測(cè).定理3 設(shè)都可測(cè)，則也可測(cè)，并且當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意集合總有. 特例，取，則有.（4）證明 首先證明的可測(cè)性，根據(jù)可測(cè)集的定義即要證明對(duì)任何有 . 事實(shí)上，因?yàn)榭蓽y(cè)，故對(duì)任何有，（5）.又因?yàn)榭蓽y(cè)，故（5）式右邊第二項(xiàng)可以寫成代入（5）式得（6）. 由德摩根公式，（6）式右邊第三項(xiàng)可以寫為，又因?yàn)榭蓽y(cè)，且，故由定理1，（6）式右邊第一、二項(xiàng)可以合并為.所以最后得（4）式：.其次，當(dāng)時(shí)，因可測(cè)，且，故由定理1有.推論1 設(shè)都可測(cè)，則也可測(cè)，并且當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意集合總有.定理4 設(shè)都可測(cè)，則也可測(cè).證明 因有，故由定理2與定理3即得結(jié)論成立.推論2 設(shè)都可測(cè)，則也可測(cè).定理5 設(shè)都可測(cè)，則也可測(cè).證明 因?yàn)?，故由定?及定理4即得.定理6 設(shè)是一列互不相交可測(cè)集，則也是可測(cè)集，且（7）證明 ，對(duì)任何可測(cè)，故對(duì)任意總有（外側(cè)度的性質(zhì)（2）單調(diào)性）（推論1）.令得.（8）由外測(cè)度的性質(zhì)（3），故有.另一方面，由于，又有.因此這就證明了的可測(cè)性.在（8）式中，令，這時(shí)由于，便得.另一方面，由外測(cè)度的性質(zhì)（3）有.故，即（7）式成立.推論3 設(shè)是一列可測(cè)集合，則也是可測(cè)集合. 證明 因可表示為被加項(xiàng)互不相交的和：，故應(yīng)用定理3,5,6即得. 由定理3,4，5,6及推論1,2,3便知，可測(cè)集對(duì)于作可數(shù)和及作交，作差的運(yùn)算是封閉的，由定理6的公式（7）更告訴我們測(cè)度是具有可數(shù)可加性的測(cè)度.定理7 設(shè)是一列可測(cè)集合，則也是可測(cè)集合.證明 因有，應(yīng)用定理2與推論3即得.定理8 設(shè)是一列遞增的可測(cè)集合：.令則. 證明 因有，其中各被加項(xiàng)都可測(cè)且互不相交，故應(yīng)用定理6公式（7），即得（令）.定理9 設(shè)是一列遞降的可測(cè)集合：.令則當(dāng)時(shí)，.證明 由于可測(cè)，.（這是因?yàn)椋┮蚣? .所以由定理3的特例得：，從而有.由于 （這是因?yàn)椋砸祈?xiàng)得到）.故.注意，定理9中的條件是重要的，下面是一反例.，所以.而 ，故 .167。2 可測(cè)集在167。1 外測(cè)度開集是有限或可數(shù)個(gè)互不相交左開右閉區(qū)間之并，但左開右閉區(qū)間與它去掉邊界后的開區(qū)間具有相同的“體積”.定義 設(shè)為中任一點(diǎn)集，對(duì)于每一列覆蓋的開區(qū)間，作出它的體積和（可以等于，不同的區(qū)間列一般有不同的），所有這一切的組成一個(gè)下方有界的數(shù)集，它的下確界（完全由確定）稱為的勒貝格外測(cè)度，簡(jiǎn)稱外測(cè)度或外測(cè)度，記為，即 注：不能像數(shù)學(xué)分析那樣用覆蓋的有限個(gè)區(qū)間體積和的下確界定義的外測(cè)度.定理 ⑴（非負(fù)性） ，當(dāng)為空集時(shí)，；⑵（單調(diào)性） 設(shè)，則；⑶（次可數(shù)可加性） .證明：⑴非負(fù)性很顯然，需要注意的是當(dāng)為空集時(shí)，反之不成立.例：康托爾三分集，,但不為空集.⑵設(shè)，則任一列覆蓋的開區(qū)間一定也是覆蓋的，因而對(duì)所有能覆蓋的開區(qū)間列取下確界即得.⑶任給，由外側(cè)度定義，對(duì)每個(gè)都應(yīng)有一列開區(qū)間使，且 (1) 由下確界的定