線代第一至四章習(xí)題及答案(參考版)
2025-01-09 17:50本頁(yè)面
【正文】 證：方法一（用定義法） 設(shè) 0332211 ??? ??? ccc （ 1） :)1(2A 0323222121 ??? ??? AcAcAc ，即 013 ??c ，得 03?c （ 1）化為 02211 ?? ?? cc A（ 1）： 012 ??c ，得 02?c （ 1）化為 011 ??c ，得 01?c 方法二： 01?? ， ?1 無(wú)關(guān) ?? 12? （否則 ?? 12 c? ， ??2A ?? 11?cA ） 所以 ?? 21, 線性無(wú)關(guān) 又 ??? 213 ,? （否則 ??? 22113 cc ?? ， )0 132 ?? ??A 例 14已知 ?可用 ?1,?2,…,?s 線性表示，但 不可用 ?1,?2,…,?s1線性表示．證明 ⑴ ?s不可用 ?1,?2,…,?s1線性表示； ⑵ ?s可用 ?1,?2,…,?s1,?線性表示． ⑴ ? r(?1,?2,… ,?s1,?s,?)=r(?1,?2,… ,?s1,?s). ⑵ ? r(?1,?2,… ,?s1,?)=r(?1,?2,… ,?s1)+1. 例 15中的向量組的秩 : ????????????????1001424527121203121301?????????????????04000101103133021301????????????????00000010003133021301 r(?1,?2,??3,?4,?5)=3. 例 2 已知 (2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關(guān) ,并且 a?1,求 a. (05) ?????????????????????????????????????????????????????????aaaaaaa2100021001110321111001110210032111121132114322 秩 4 得 12a=0 a=21 例 3 設(shè) ?1=(1+a,1,1)， ?2=(1,1+b,1)， ?3=(1,1,1b)，問 a,b 滿足什么條件時(shí) r(?1,?2,?3)=2? BabababbbbbaTTT ??????????????????????????????00111111111111),( 321 ??? 1) 若 b=0 Ｂ＝??????????????????????? 00001110000111aaaa 0,0 ?? ab 時(shí)秩＝２ ２） 0?b?????????????????????????????????????????100110111001101110110111abbabbabababB ??? ??? 10ab時(shí)秩為２ 例 4 設(shè) ?1=(1+λ， 1， 1)， ?2=(1， 1+λ， 1)， ?3=(1， 1， 1+λ )，?=(0，λ ,λ 2)． ① λ為何值時(shí)， ?可用 ?1， ?2， ?3線性表示，并且表示方式唯一？ ② λ為何值時(shí)， ?可用 ?1， ?2， ?3 線性表示 ，并且表示方式不唯一？ ③ λ為何值時(shí)， ?不可用 ?1， ?2， ?3線性表示？ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????23222232222321230001112001110111111111, aaTTTT當(dāng) 3,0??? 時(shí)， 3),( 321 ????r , 3),( 321 ?????r 當(dāng) 0?? 時(shí)， 1),(),( 321321 ?? ??????? rr 當(dāng) 時(shí)3??? ， 3),(,2),( 321321 ?? ??????? rr 例 7 設(shè) ?1=(1,2,3)， ?2=(3,0,1)， ?3=(9,6,7)， ?1=(0,1,1)，?2=(a,2,1)， ?3=(b， 1， 0)． 已知 r(?1,?2,?3)=r(?1,?2,?3),并且 ?3可用 ?1,?2,?3線性表示，求 a,b.(00 二 ) 思路：先用 ????3213 ,?這個(gè)條件求出 b ?????????????????????????????????????????????????????????????????52100012609313321241201260931121840126093101713602931,3321bbbbbbbbbbTTTT???? 5,2),( 321 ?? br ??? 則 0,2),(321321 ?? ??????r 15),15(13 50111305001112150?????????aaaaa 例 6 設(shè) ?1=(1,2,0,1) , ?2 =(1,1,1,0), ?3=(0,1,a,1),?1=(1,0,1,0),?2=(0,1,0,2).a 和 k取什么值時(shí) ,??1+k?2可用 ?1,?2,?3線性表示 ?寫出表示式 . 解： ? ? BkkkakkakTTTTT ????????????????????????????????????????13210001001100111212110110112011, 21321 ????? 得 k= 1， 13),( 21321 ???? akr ????? ?????????????????????????????????????????????0141131220001000100010431000100110011aaaaaaB 例 10 設(shè)??1=(1+a,1,1,1),?2=(2,2+a,2,2),???3=(3,3,3+a,3),??4=(4,4,4,4+a).問 a為什么數(shù)時(shí) ?1,?2,?3,?4線性相關(guān) ?在 ?1,?2,?3,?4線性相關(guān)時(shí)求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組 ,并且把其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出 . 解：顯然 a=0 時(shí)， ???? 4321 , 線性相關(guān)，并且秩為 1 可得 ?1 為極大無(wú)關(guān)組， ?? 12 2? ， ?? 13 3? ， ?? 14 4? 若 :0?a ? ????????????????????????????
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