【正文】 例：設(shè) x1(n)和 x2(n)都是 N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次 N點(diǎn) DFT運(yùn)算來計(jì)算它們各自的 DFT: 解： 由題意 構(gòu)造序列 對 作一次 N點(diǎn) IFFT可得序列 又根據(jù) DFT的線性性質(zhì) 而 ， 都是實(shí)序列 根據(jù) DIT―FFT 的思想及蝶形運(yùn)算規(guī)則，可得到 1212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2kNkNX k X k W X kNX k X k W X k? ???? ?? ? ???0 ,1 , .. ., / 2 1kN??。 (3) 如果在頻率域采樣的點(diǎn)數(shù)滿足頻率域采樣定理， 即采樣點(diǎn)數(shù) N大于等于序列的長度 M， 則可以用頻率采樣得到的離散函數(shù) X(k)恢復(fù)原序列的 Z變換 X(z)， 公式為 )()()(10zkXzX kNk?????式中 1111)(?????zWzNz kNNk?上面第一式稱為 z域內(nèi)插公式， 第二式稱為內(nèi)插函數(shù)。 頻域采樣定理包含以下內(nèi)容 : （ 1） 設(shè) x(n)是任意序列， X(ejω)=FT［ x(n)］，對 X(ejω)等間隔采樣得到 kNN XkX π2j )e()(????k=0， 1， 2， 3， … ， N－ 1 則 ????????nNNN nRiNnxkXnx )()()]([I D F T)( (2) 如果 x(n)的長度為 M， 只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù) N≥M時(shí)， xN(n)=x(n)， 否則 ???????nN iNnxnx )()(~會發(fā)生時(shí)域混疊， xN(n)≠x(n)。 )()]([)]([)(.4knNxnXD F TnxD F TkXD F T???證明的對稱定理，即假設(shè)證明證明 )()]([,0,)())(()()]([)()(10)(1010)(10101010KNNxnxDF TkNmkNmNWWmxWWmxWnXnXDF TWnxkXNnnkmNNmNnnkmNNnknNNmmnNNnknNNnknN???????????????? ?? ???????????????????所以由于所以因?yàn)?頻域循環(huán)移位定理 2[ (( )) ( )] ( ) ( )j n lnl NN N NIDF T X k l R k W x n e x n??? ? ?)()(1))((1)())((1)(1)]([)(101(1010nxWWmXNWWmXNnylkmWlkXNWkYNkYI DF TnynlNNmmnNnlNlNlmnlmNNNkknNNNkknN???????????????????????????）令證明： 13. 已知序列 現(xiàn)對于 x(n) 的 變換在單位圓上 等分抽樣，抽樣值為 試求有限長序列 , 點(diǎn)。 相當(dāng)于頻域插值 思 . 已知 是 N點(diǎn)的有限長序列， ，現(xiàn)將 的每兩點(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn) 個(gè)零值點(diǎn)，得到 一個(gè) rN點(diǎn)的有限長序列 試求 rN點(diǎn) 與 的關(guān)系?，F(xiàn)將長度變成 rN點(diǎn)的有限長序列 試求 rN點(diǎn) 與 的關(guān)系。 3. 已知兩個(gè)有限長序列為 試用作圖表示 ， 以及 ⑦ 。 解 : 序列 的點(diǎn)數(shù)為 ， 的點(diǎn)數(shù)為 ，故 的點(diǎn)數(shù)應(yīng)為 又 為 與 的 15點(diǎn)的圓周卷積，即 L＝ 15。 （ 3） 計(jì)算 Y(k)=H(k)X(k) （ 4） 計(jì)算 Y(n)=IFFT［ Y(k)］， n=0， 1， 2， 3， … ， L1。 設(shè) h(n)的長度為 N， x(n)的長度為 M, 計(jì)算 yc(n)=h(n) L x(n)的快速算法如下： 1. （ 1） 計(jì)算 )]([)()]([)(nxFFTkXnhFFTkH?? k=0,1,2,3,… ， L－ 1， L=max［ N, M］ （ 2） 計(jì)算 Yc(k)=H(k)X(k) k=0, 1, 2, … , L－ 1 （ 3） 計(jì)算 yc(n)=IDFT［ Yc(k)］ L n=0, 1, 2, … , L－ 1 說明： 如上計(jì)算過程中的 DFT和 IDFT均采用 FFT算法時(shí)， 才稱為快速算法， 否則比直接在時(shí)域計(jì)算循環(huán)卷積的運(yùn)算量大 3倍以上。于的哪些點(diǎn)對應(yīng)問設(shè)所得結(jié)果為的再求乘積相乘然后將兩個(gè)點(diǎn)的各作其他其他設(shè)有兩序列)()()(),(,15n 0,14n0 ),()( n 0,5n0 ),()( .14nynxnfnfI DF TDF TDF Tnynynxnx???? ?????? ???如果兩個(gè)序列的長度均不很長， 可以直接采用循環(huán)卷積的矩陣乘法計(jì)算其循環(huán)卷積； 如果序列較長， 可以采用快速算法。 （ 3） nnx 0je)( ??00000jjjj)(e)(??????????? njn eHny? 題 24解圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) DFT的應(yīng)用舉例 學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式 （ 1） DFT的定義和物理意義， DFT和 FT、 ZT之間的 （ 2） DFT的重要性質(zhì)和定理： 隱含周期性、 循環(huán)移位性質(zhì)、 共軛對稱性、 實(shí)序列 DFT的特點(diǎn)、 循環(huán)卷積定理、 （ 3） （ 4） FFT的基本原理及其應(yīng)用。 極零點(diǎn)圖如題 24解圖 (a)所示。 11)(?????zzzH? ?? c n zzzHnh d)(πj2 1)( 1令 11)()( ?????? nn zzzzzHzFn≥1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) ， nzn zzzzzFnh )(]),([sRe)( 1 ????????? n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) ， 0， ]0),([sRe]),([sRe)( ZFzFnh ??2)()( ]),([sRe ????? ?zzzz zzF1)( ]0),([(sRe 0 ????? ?zzzz zzF最后得到 h(n)=2 一般在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近是濾波器的通帶； 阻帶在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近， 如果沒有零點(diǎn)， 則離極點(diǎn)最遠(yuǎn)的地方是阻帶。 當(dāng)然， 峰值頻率就在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近， 谷值頻率就在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近。 當(dāng)頻率由 0到 2π變化時(shí)， 觀察零點(diǎn)矢量長度和極點(diǎn)矢量長度的變化， 在極點(diǎn)附近會形成峰。 我們已經(jīng)知道系統(tǒng)函數(shù)的極、 零點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性， 因此可