【正文】 ,∠ ECH=90176。,∴∠ CHA=∠ CEB=45176。,即 ∠ ECG=90176。. (3)BEAE=? : 解法一 :在 BF上截取 BG=AE,連接 CG, 由 (1)知 ∠ CBF=∠ CAD, 又 AC=BC,∴ △ BCG≌ △ ACE.∴ CG=CE,∠ BCG=∠ ACE. ∵∠ BCG+∠ ACG=90176。,∴∠ BAC=45176。. ? 解法二 :由 (1)知 ∠ AEB=∠ ACB=90176。,即 ∠ ECG=90176。.理由如下 : 解法一 :在 BF上截取 BG=AE,連接 CG,由 (1)知 ∠ CBF=∠ CAD,又 AC=BC,∴ △ BCG≌ △ ACE.∴ CG=CE,∠ BCG=∠ ACE. ∵∠ BCG+∠ ACG=90176?！?D. ∵ AC=BC,∠ BCF=∠ ACD=90176。 (3)探究線段 AE,BE,CE之間滿足的等量關(guān)系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ BE⊥ AD,∠ ACB=90176。,點 D在 BC延長線上 ,連接 AD,過 B作 BE⊥ AD,垂足為 E,交 AC于點 F,連接 CE. (1)求證 :△ BCF≌ △ ACD。∠ BAC180176。. 當 ∠ BAC100176。,∴∠ BAC=180176。,∵∠ EDC+∠ DEC+∠ ACB=180176。,則 ∠ ABC=∠ ACB=2x176。3= 60176。 解析 如圖 ,若交點恰與點 C重合 ,則 ∠ ABC=∠ ACB=2∠ ABE,∠ AEB=∠ BED=∠ DEC=180176。. 二、填空題 (共 3分 ) 2.(2022廈門質(zhì)檢 ,16)在△ ABC中 ,AB=AC,將△ ABC沿 ∠ B的平分線折疊 ,使點 A落在 BC邊上的 點 D處 ,設(shè)折痕交 AC邊于點 E,繼續(xù)沿直線 DE折疊 ,若折疊后 ,BE與線段 DC相交 ,且交點不與點 C 重合 ,則 ∠ BAC的度數(shù)應(yīng)滿足的條件是 . 答案 100176。,又 ∠ C=45176。 答案 D ∵ AB∥ OC,∠ A=30176。 176。,則 ∠ DEO的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。, ∴ △ ABE≌ △ FCB, ∴ AB=FC. B組 2022— 2022年模擬 ,以點 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,與射線 AD相 交于點 E,連接 BE,過 C點作 CF⊥ BE,垂足為 :AB=FC. ? 證明 ∵ BE、 BC為☉ B的半徑 , ∴ BE=BC. ∵ AD∥ BC,∴∠ AEB=∠ EBC. ∵ CF⊥ BE,∠ BAD=90176。, ∴∠ 2=∠ 3. 在△ ACD和△ CBE中 , ? ∴ △ ACD≌ △ CBE(AAS). ,2 3 ,A D C C E BA C C B? ? ???? ? ??? ??15.(2022漳州質(zhì)檢 ,19)數(shù)學(xué)課上 ,老師要求學(xué)生證明命題 :“角平分線上的點到這個角的兩邊距 離相等” .以下是小華解答的部分內(nèi)容 (缺少圖形和證明過程 ),請你把缺少內(nèi)容補充完整 . 已知 :點 P在 ∠ AOB的平分線 OC上 ,PD⊥ OA于 D,PE⊥ OB于 E. 求證 :PD=PE. 證明 : 解析 畫圖如圖 . ? 證明 :∵ OC平分 ∠ AOB,∴∠ 1=∠ 2. ∵ PD⊥ OA,PE⊥ OB, ∴∠ 3=∠ 4=90176。. 又 ∵∠ ACB=90176。,AC=BC,AD⊥ CE,BE⊥ CE,垂足分別為 D,E. 求證 :△ ACD≌ △ CBE. 證明 ∵ BE⊥ CE,AD⊥ CE, ∴∠ ADC=∠ CEB=90176。, ∴ AD=DE,∠ ADE=90176。 (2)過圖中兩點畫一條直線 ,使其垂直平分圖中的某條線段 ,并說明理由 . 解析 (1)△ ADE是等腰直角三角形 .證明如下 : 在等邊△ ABD和等邊△ ACE中 , ∵ BA=DA,CA=EA,∠ BAD=∠ CAE=60176。 (2)求△ ABC的周長 . ? 解析 (1)取線段 AC的中點 D,則有 DC=AD,連接 BD,則 BD⊥ AC. 理由 :由題圖可知 BC=5,AB=5,∴ BC=AB. 又 CD=AD,∴ BD⊥ AC. (2)由題圖易得 AB=5,AC=? =? =2? ,BC=? =5, ∴ △ ABC的周長 =5+5+2? =10+2? . 2224? 20 5 2234?5 510.(2022莆田質(zhì)檢 ,20)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC,∠ ABC=90176。 解析 利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和可得 ,∠ A+∠ B=∠ ACD,∴∠ A =∠ ACD∠ B=80176。. ? 二、填空題 (共 3分 ) 7.(2022晉江質(zhì)檢 ,14)如圖 ,∠ ACD是△ ABC的外角 ,若 ∠ ACD∠ B=80176。, ∴∠ DOE=180176。(∠ CEO+∠ C)]+[180176。,∴∠ CEO+∠ C+∠ BDO+∠ B=260176。 答案 D 由題意得 OC=OB=OE=OD,∴∠ CEO=∠ C,∠ BDO=∠ B,∵∠ A=50176。 176。,O是 BC的中點 ,以 O為圓心 ,OB長為半徑畫弧 ,分別 交 AB,AC于點 D, OD,OE,測量 ∠ DOE的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。的是 ? ( ) 答案 B 利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和可得 ,∠ CAD=∠ ACB+∠ B =75176。,∠ ACB=50176。, ∵ BC=6,∴ BD=CD=6. ∴ ? 的長度 =? 的長度 =? =? . ∴ ? 、 ? 的長度之和為 ? +? =? . ,A B A CB D C DA D A D????????DE︵ DF︵ 55 6180??? 116?DE︵ DF︵ 116? 116? 113?A組 2022— 2022年模擬 . ∵ BD=CD=BC,∴ △ BDC為等邊三角形 . ∴∠ DBC=∠ DCB=60176。,求 ? 、 ? 的長度之和 (結(jié)果保留 π). ? DE︵ DF︵解析 (1)證明 :由題意可知 BD=CD, 在△ ABD和△ ACD中 , ? ∴ △ ABD≌ △ ACD(SSS). ∴∠ BAD=∠ CAD,即 AD平分 ∠ BAC. (2)∵ AB=AC,∠ BAC=50176。,∴ △ ABD≌ △ CAE.? (6分 ) ∴ AD=CE.? (7分 ) 10.(2022江蘇蘇州 ,24,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB= B、 C為圓心 ,BC長為半徑在 BC下方 畫弧 ,設(shè)兩弧交于點 D,與 AB、 AC的延長線分別交于點 E、 F,連接 AD、 BD、 CD. (1)求證 :AD平分 ∠ BAC。,∴∠ BDE=90176。.而 ∠ CAN+∠ EAD+∠ DAM=180176?！唷?BDF=60176。α。. (2)α或 180176。=90176。,∠ ADB=∠ DBC, ∴∠ ADB=∠ NAC, ∵∠ ADB+∠ EDA=∠ NAC+∠ EAD=180176。 (2)當 ∠ ACB=α,其他條件不變時 ,∠ BDE的度數(shù)是 。時 : ① 求證 :△ BCM≌ △ ACN?！?ACB≤ 90176。,則△ PMN為等邊三角形 ,因為滿足 CM=DN的 M,N有無數(shù)個 ,所以滿足題意的三角形 有無數(shù)個 . ? 2.(2022吉林 ,16,5分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,點 E,F分別在 BC,CD上 ,且 BE= :△ ABE≌ △ BCF. ? 證明 在正方形 ABCD中 , AB=BC,∠ ABC=∠ C=90176。 (2)在 (1)的條件下 ,若 DE=4,求 BC的長 . ? 解析 (1)如圖 . ? (2分 ) E點 ,DE即為所求 .? (3分 ) (2)∵ DE是△ ABC的中位線 ,且 DE=4, ∴ BC=2DE=24=8.? (6分 ) 評析 本題主要考查平面幾何中尺規(guī)作圖的基本方法 (中點的作法 ),以及三角形中位線的性 質(zhì) . 考點二 三角形全等 1.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。 (2)當 AE+AF取得最小值時 ,請在如圖②所示的網(wǎng)格中 ,用 ? 的直尺 ,畫出線段 AE,AF,并簡要 說明點 E和點 F的位置是如何找到的 (不要求證明 ) . ? 52???無 刻 度答案 (1)? 。由選 項 C可得 PC=AC,所以 BC=PB+AC。,所以 S1=S2,故選 C. ? 12 1212 126.(2022河北 ,12,3分 )如圖 ,已知△ ABC(ACBC),用尺規(guī)在 BC上確定一點 P,使 PA +PC=BC,則符 合要求的作圖痕跡是 ? ( ) ? ? 答案 D 由選項 A可得 PB=AB,所以 BC=AB+PC。② 當 2是腰 ,6是底邊時 ,2+26,不能構(gòu)成三角 形 ,∴ △ ABC的周長是 14,故選 B. 評析 本題考查了一元二次方程的解法 ,三角形三邊之間的關(guān)系 ,等腰三角形的性質(zhì)等知識 ,屬 于容易題 . 5.(2022江蘇連云港 ,6,3分 )如圖 ,若△ ABC和△ DEF的面積分別為 S S2,則 ? ( ) ? =? S2 =? S2 =S2 =? S2 12 72 85答案 C 過點 A作 AM⊥ BC于點 M,過點 D作 DN⊥ EF交 FE的延長線于點 N,S1=? BCAM=? 8 5sin 40176。AH =AD 答案 A 由作圖可知點 B、 C到線段 AD的兩個端點的距離分別相等 ,∴ 點 B、 C都在線段 AD 的垂直平分線上 ,即直線 BC垂直平分線段 A. 4.(2022廣東廣州 ,10,3分 )已知 2是關(guān)于 x的方程 x22mx+3m=0的一個根 ,并且這個方程的兩個根 恰好是等腰三角形 ABC的兩條邊長 ,則三角形 ABC的周長為 ? ( ) 14 10 答案 B 把 2代入方程得 m=4,解方程 x28x+12=0得另外一個根是 6。 步驟 2:以 B為圓心 ,BA為半徑畫弧② ,交?、儆邳c D。∠ ABC,∠ FEH=180176。,根據(jù) ,可以知道 Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF. 第二種情況 :當 ∠ B是鈍角時 ,△ ABC≌ △ DEF. (2)如圖 ,在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是鈍角 .求證 :△ ABC≌ △ DEF. ? 第三種情況 :當 ∠ B是銳角時 ,△ ABC和△ DEF不一定全等 . (3)在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是銳角 ,請你用尺規(guī)在圖中作 出△ DEF,使△ DEF和△ ABC不全等 .(不寫作法 ,保留作圖痕跡 ) ? (4)∠ B還要滿足什么條件 ,就可以使△ ABC≌ △ DEF?請直接填寫結(jié)論 : 在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是銳角 ,若 ,則△ ABC≌ △ DEF. 解析 (1)HL.? (2分 ) (2)證明 :如圖① ,分別過