【正文】 . 在△ AGB和△ BHC中 , ∵∠ AGB=∠ BHC,∠ BAG=∠ CBH,AB=BC, ∴ △ AGB≌ △ BHC,∴ AG=BH,BG=CH, ∵ BH=BG+GH, ∴ BH=CH+GH=HF+GH=FG,∴ AG=FG. (2)如圖 ,∵ CH⊥ GF,BG⊥ AE, ∴ CH∥ GM,∵ C為 FM的中點(diǎn) , ∴ CH=? GM,∴ BG=? GM, ∵ BM=10,∴ 由勾股定理可得 BG=2? ,GM=4? , ∴ CH=BG=2? , 12 125 55∴ CF=2? ? =2? , ∴ CM=2? , ∵ △ GFM為等腰直角三角形 , ∴ GF=GM, 又 ∵ GF=AG, ∴ AG=GM,∴ AB=BM, ∴ BC=BM, 過(guò) B點(diǎn)作 BK⊥ CM于 K, 則 CK=? CM=? , ∴ BK=3? , 過(guò) D作 DQ⊥ MF交 MF的延長(zhǎng)線于 Q, 可得△ BKC≌ △ CQD, ∴ CQ=BK=3? , DQ=CK=? , 5 2 10101210101010∴ QF=CQCF=CQCM=3? 2? =? , ∴ DF=? =2? . 10 10 1010 10? 5。,∠ FBE+∠ ABG=90176。 (2)如圖 2,延長(zhǎng) FC、 AE交于點(diǎn) M,連接 DF、 BM,若 C為 FM的中點(diǎn) ,BM=10,求 FD的長(zhǎng) . 解析 (1)證明 :過(guò) C點(diǎn)作 CH⊥ BF于點(diǎn) H, ∵∠ CFB=45176。, ∴ CF=EF=FH,故②正確 . ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ DFC=∠ BCF, 又 ∵ DF=CD=? AD,∴∠ DFC=∠ DCF, ∴∠ DFC=∠ DCF=∠ FCB, ∵∠ FCB∠ ECF,∴∠ DCF∠ ECF,故①錯(cuò)誤 . 易證四邊形 DFKC是菱形 , ∴∠ DFC=∠ KFC. ∵ AE∥ FK,∴∠ AEF=∠ EFK, ∵ FE=FC,FK⊥ EC, ∴∠ EFK=∠ KFC,∴∠ EFK=∠ KFC=∠ DFC=∠ AEF, 12∴∠ DFE=3∠ AEF,故③正確 . 易證四邊形 EBCN是平行四邊形 , ∴ S△ BEC=S△ ENC, 易知 S△ EHC=2S△ EFC,S△ EHCS△ ENC, ∴ S△ BEC2S△ CEF,故④正確 .故正確的為②③④ . 2.(2022溫州樂(lè)清二模 ,25)如圖 1,正方形 ABCD中 ,E為 BC上一點(diǎn) ,過(guò) B作 BG⊥ AE于 G,延長(zhǎng) BG至 點(diǎn) F使 ∠ CFB=45176。④ S△ BEC2S△ CEF,其中正確的是 .(填序號(hào) ) ? C組 2022— 2022年模擬 ② EF=CF。,請(qǐng)問(wèn)△ AED經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)可變?yōu)椤?CAB? 解析 (1)證明 :因?yàn)?FA =FC,所以 ∠ FAC=∠ FCA, 在△ ABC與△ EDA中 ,∠ BCA=∠ DAE,BC=DA,∠ B=∠ D, 所以△ ABC≌ △ EDA. (2)如圖 , ? 圖中△ CMN即為所求作的三角形 . (3)將△ AED沿 AD方向平移 5 cm得△ CMN,再以點(diǎn) C為旋轉(zhuǎn)中心 ,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 160176。 (2)尺規(guī)作圖 :作△ AED沿著 AD方向平移 AC長(zhǎng)度后的三角形 。,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 BF=CF,推出 ∠ FCB=∠ CBD,進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程 ,解方程即可 . 解題關(guān)鍵 合理設(shè)出未知數(shù) ,并能根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵 . 2.(2022寧波七校聯(lián)考 ,17)在△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在 AB,AC上 ,且 CD與 BE相交于點(diǎn) F,已知△ BDF的面積為 6,△ BCF的面積為 9,△ CEF的面積為 6,則四邊形 ADFE的面積為 . 答案 24 二、填空題（共 3分） 解析 如圖 ,連接 AF,設(shè) S△ ADF=m, ∵ S△ BDF∶ S△ BCF=6∶ 9=2∶ 3=DF∶ CF, ∴ S△ AFC=? S△ ADF=? m=S△ AEF+S△ EFC, ∴ S△ AEF=? m6, ∵ S△ BFC∶ S△ EFC=9∶ 6=3∶ 2=BF∶ EF, ∴ S△ ABF∶ S△ AEF=BF∶ EF=3∶ 2, 又 S△ ABF=m+S△ BDF=m+6, ∴ S△ ABF∶ S△ AEF=3∶ 2=(m+6)∶ ? , 32 32323 62 m???????解得 m=12. ∴ S△ AEF=12, ∴ S四邊形 ADFE=S△ AEF+S△ ADF=12+12=24. 3.(2022杭州上城一模 ,19)如圖 ,A,E,F,B在同一條直線上 ,CE⊥ AB,DF⊥ AB,AE=BF,∠ A=∠ B,求 證 :OC=OD. 證明 ∵ AE=BF, ∴ AE+EF=BF+EF,即 AF=BE, ∵ CE⊥ AB,DF⊥ AB, ∴∠ AFD=∠ BEC=90176。,故選 B. 思路分析 設(shè) ∠ ABD=∠ CBD=x176。, 解得 x=25,∴∠ ABC=2x176。+2x176。+45176。,∠ ACF=45176。, ∵ EF是 BC的垂直平分線 , ∴ BF=CF,∴∠ FCB=∠ CBD=x176。 提升題組 (時(shí)間 :30分鐘 分值 :30分 ) 一、選擇題（共 3分） 答案 B ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=∠ CBD, 設(shè) ∠ ABD=∠ CBD=x176。 176。 176。,∠ ACF=45176。,則 ∠ BDC=75176。+30176。 (2)若 ∠ CAE=30176。④ BE=CF.從中選三個(gè)作為已知條件 ,剩余的一個(gè)作為結(jié)論 ,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)真命題 (用序號(hào) ????? 的形式表示 ),并給出證明 . 解析 真命題 :①③④ ?② 或①②④ ?③ . 以下證明①③④ ?② . ∵ BE=CF, ∴ BE+EC=EC+CF,即 BC=EF, 在△ ABC和△ DEF中 , ? ∴ △ ABC≌ △ DEF, ∴ AC=DF. (注 :證明①②④ ?③時(shí) ,可利用 SSS得△ ABC≌ △ DEF,從而得 ∠ ABC=∠ DEF) ,A B D EA B C D E FB C E F???? ? ?????5.(2022金華模擬 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=CB,∠ ABC=90176。② AC=DF。, ∴∠ AOF=∠ DAE, 在△ AOF和△ DAE中 , ? ∴ △ AOF≌ △ DAE(SAS), ∴∠ AFO=∠ DEA=90176。. 又 ∵∠ CBO=∠ ABD,∴∠ BOC=∠ ADB, ∵∠ BOC=∠ AOD,∴∠ AOD=∠ ADB, ∴ AD=AO. 如圖 ,過(guò)點(diǎn) O作 OF⊥ AB于點(diǎn) F, ∵∠ CBO=∠ ABD, ∴ CO=FO, ∵ AE=OC, ∴ AE=OF, ∵∠ AOF+∠ OAF=90176。, ∴∠ CBO+∠ BOC=90176。 (2)當(dāng) AE=? AC,AB=10時(shí) ,求線段 BO的長(zhǎng)度 . 38解析 (1)證明 :∵∠ ACB=90176。 ② 分別以 E、 F為圓心 ,大于 ? EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 ,兩弧相交于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) C、 D作射線 CD。, ∴∠ OCB=? =30176。 (2)若 OC=6,求 O到 BC的距離 . 解析 (1)如圖 ,點(diǎn) O即為所求 . ? (2)如圖 ,過(guò)點(diǎn) O作 OG⊥ CB交 CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G, ∵ 點(diǎn) O到 AC、 BC的距離相等 , ∴ OC為 ∠ ACB的平分線 , ∵∠ A=40176。,∠ B=80176。 解析 本題考查三角形的內(nèi)角、外角平分線的性質(zhì) . 設(shè) ∠ ACD=2α,∠ ABD=2β. ∵ BE、 CE分別平分 ∠ ABC和 ∠ ACD, ∴∠ ECD=∠ ACE=? ∠ ACD=α, ∠ ABE=∠ EBD=? ∠ ABD=β, ∴∠ A=∠ ACD∠ ABD=2(αβ), ∠ E=∠ ECD∠ EBD=αβ, ∴∠ E=? ∠ A=176。. 5.(2022溫州二模 )如圖 ,在△ ABC中 ,BE和 CE分別平分 ∠ ABC和 ∠ ACD,已知 ∠ A=45176。140176。, 又 ∵ BP和 CP分別平分 ∠ ABC和 ∠ ACB, ∴∠ ABC+∠ ACB=2(∠ PBC+∠ PCB)=140176。. 答案 40 解析 ∵∠ BPC=110176。 基礎(chǔ)題組 答案 C 由三角形三邊關(guān)系可知 x的取值范圍為 5x9. 故選 C. 2.(2022濱江二模 ,9)四根長(zhǎng)度分別為 3,4,6,x(x為整數(shù) )的木棒 ,從中任取三根 ,首尾順次相接都能 組成一個(gè)三角形 ,則 ? ( ) 9 10 19 16 答案 D 若組成的三角形中周長(zhǎng)最小為 9,則 x=934=2,但 2+36,∴ A錯(cuò)誤 . 若組成的三角形中周長(zhǎng)最小為 10,則 x=1034=3,但 3+3=6,∴ B也錯(cuò)誤 . 若組成的三角形中周長(zhǎng)最大為 19,則 x=1964=9,但 3+6=9.∴ C錯(cuò)誤 . 若組成的三角形中周長(zhǎng)最大為 16,則 x=1664=6,長(zhǎng)度分別為 3,4,6或 3,6,6或 4,6,6,都能夠組成三 角形 .∴ D正確 . 故選 D. 3.(2022杭州拱墅一模 ,4)已知△ ABC的三邊長(zhǎng)都是整數(shù) ,且 AB=2,BC=6,則△ ABC的周長(zhǎng)可能是 ? ( ) 答案 B ∵ △ ABC中 ,AB=2,BC=6,∴ 4AC8,又△ ABC的三邊長(zhǎng)都是整數(shù) ,故 AC=5或 6或 7,則 △ ABC的周長(zhǎng)可能是 13,14, B. 4.(2022紹興一模 )在△ ABC中 ,∠ ABC,∠ ACB的平分線交于點(diǎn) P,若 ∠ BPC=110176。. ∴∠ BDC=90176。∠ ACD=∠ FCE. 在△ BCD和△ FCE中 , ? ∴ △ BCD≌ △ FCE. (2)由△ BCD≌ △ FCE得 ∠ BDC=∠ E. ∵ EF∥ CD, ∴∠ E=180176。. ∵∠ ACB=90176。 (2)若 EF∥ CD,求 ∠ BDC的度數(shù) . 解析 (1)證明 :∵ CD繞點(diǎn) C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90176。,點(diǎn) D,F分別在 AB,AC上 ,CF= CD,將線段 CD繞點(diǎn) C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90176。. ∵∠ A+∠ C=90176。BE=CF. 6.(2022重慶 ,20,7分 )如圖 ,在△ ABD和△ FEC中 ,點(diǎn) B,C,D,E在同一直線上 ,且 AB=FE,BC=DE,∠ B =∠ E. 求證 :∠ ADB=∠ FCE. 證明 ∵ BC=DE, ∴ BC+CD=DE+CD,即 DB=CE.? (3分 ) 又 ∵ AB=FE,∠ B=∠ E, ∴ △ ABD≌ △ FEC.? (6分 ) ∴∠ ADB=∠ FCE.? (7分 ) 7.(2022陜西 ,18,6分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90