【正文】 點 C、 F作對邊 AB、 DE上的高 CG、 FH,其中 G、 H為垂足 . ∵∠ ABC、 ∠ DEF都是鈍角 , ∴ G、 H分別在 AB、 DE的延長線上 . ∵ CG⊥ AG,FH⊥ DH, ∴∠ CGA=∠ FHD=90176。 (2)如圖 2,若 AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下 ,請直接寫出圖 2中四對全等的直角三角形 . ? 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :∵ △ ACB和△ DCE都是等腰直角三角形 , ∠ ACB=∠ DCE=90176。二是連接 AM,計算可得 ∠ AMC=∠ ACM,而 N是 CM 的中點 ,從而 AN⊥ CM,進一步即可證明 AN∥ EM. MFEF 12NFAF 127.(2022黑龍江哈爾濱 ,24,8分 )已知 :△ ACB和△ DCE都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ DCE=90176。,下面證 AN∥ EM有兩個思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補角性質求出 ∠ EMF。)=75176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。, ? ∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,∠ MEF=30176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176?！?CME=100176。=80176。=40176。,M為斜邊 BD的中點 , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。,求 ∠ EMF的大小 。.點 D為邊 AC上一點 ,DE⊥ AB于點 M為 BD的中點 ,CM的延長線交 AB于點 F. (1)求證 :CM=EM。, ∴∠ FBC=∠ FBG+∠ CBG=∠ EAD+∠ FAB+∠ DAG=∠ EAF=90176。,∴ AC⊥ BD,∴ ① 正確 . ∵ AB=AD,∠ BAC=∠ DAC,AC=AC,∴ △ ABC≌ △ ADC,∴ ③ 正確 . ∵ △ ABC≌ △ ADC,∴ CB=CD,∴ ② 正確 . ∵ DA與 DC不一定相等 ,∴ ④ 不正確 . 3.(2022江西南昌 ,9,3分 )如圖 ,OP平分 ∠ MON,PE⊥ OM于 E,PF⊥ ON于 F,OA=OB,則圖中有 對全等三角形 . ? 答案 3 解析 根據(jù)題圖的特征以及角平分線的性質可以得到△ AOP≌ △ BOP,△ EOP≌ △ FOP,△ AEP≌ △ BFP,所以題圖中有 3對全等三角形 . 4.(2022云南昆明 ,15,6分 )如圖 ,在△ ABC和△ ADE中 ,AB=AD,∠ B=∠ D,∠ 1=∠ :BC=DE. ? 證明 ∵∠ 1=∠ 2, ∴∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC, 即 ∠ BAC=∠ DAE,? (1分 ) 在△ ABC和△ ADE中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ABC≌ △ ADE(ASA),? (5分 ) ∴ BC=DE.? (6分 ) (其他證法參照此標準給分 ) ,B A C D A EA B A DBD? ? ?????? ? ? ??5.(2022湖北黃岡 ,20,8分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,分別以邊 BC,CD作等腰△ BCF,△ CDE,使 BC=BF, CD=DE,∠ CBF=∠ CDE,連接 AF,AE. (1)求證 :△ ABF≌ △ EDA。④ DA= . ? 答案 ①②③ 解析 ∵ △ ABO≌ △ ADO,∴∠ BAC=∠ DAC,∠ AOB=∠ AOD,AB=AD.∵∠ AOB+∠ AOD=180176。② CB=CD。. 考點二 三角形全等 1.(2022四川成都 ,6,3分 )如圖 ,已知 ∠ ABC=∠ DCB,添加以下條件 ,不能判定△ ABC≌ △ DCB的 是 ? ( ) ? A.∠ A=∠ D B.∠ ACB=∠ DBC =DB =DC 答案 C 根據(jù)題中已有條件 ,分別添加 ∠ A=∠ D,∠ ACB=∠ DBC,AB=DC,符合判定三角形全 等的 AAS,ASA,SAS定理 ,能推出△ ABC≌ △ DCB,故選項 A,B,D不符合題意 。. 證法 2:如圖 ,過點 A作射線 AP,使 AP∥ BD. ? ∵ AP∥ BD, ∴∠ CBF=∠ PAB,∠ ACD=∠ EAP. ∵∠ BAE+∠ PAB+∠ EAP=360176。. 請把證法 1補充完整 ,并用不同的方法完成證法 2. ? 解析 ∠ BAE+∠ 1=∠ CBF+∠ 2=∠ ACD+∠ 3=180176。180176。. ∴∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=540176。. 證法 1:∵ , ∴∠ BAE+∠ 1+∠ CBF+∠ 2+∠ ACD+∠ 3=180176。,作 CH⊥ AF,則 AH=? AC, 所以 AF=? AC=? ,∴ DE=? AF=? . ? 323 312 32思路分析 延長 BC至點 F,使 CF=AC,利用已知條件證明 DE為△ ABF的中位線 ,由已知條件求 得 AF的長 ,從而求得 DE的長 . 解題技巧 對于求線段長度的問題 ,若條件涉及三角形邊的中點 ,可 2以考慮運用中位線性質來解答 . 7.(2022江蘇揚州 ,14,3分 )如圖 ,△ ABC的中位線 DE=5 cm,把△ ABC沿 DE折疊 ,使點 A落在邊 BC 上的點 F處 ,若 A、 F兩點間的距離是 8 cm,則△ ABC的面積為 cm2. ? 答案 40 解析 連接 AF,因為 DE是中位線 ,且 DE=5 cm,所以 DE∥ BC,且 BC=2DE=10 cm,因為 A、 F關于 DE對稱 ,所以 AF⊥ DE,所以 AF⊥ BC,所以△ ABC的面積為 ? 108=40 cm2. ? 128.(2022江蘇南京 ,21,8分 )用兩種方法證明“三角形的外角和等于 360176。,∴∠ ACF=120176。.故選 C. 12 12評析 本題主要考查三角形內(nèi)角和定理 ,角平分線的概念 ,屬容易題 . 5.(2022湖北黃岡 ,12,3分 )一個三角形的兩邊長分別為 3和 6,第三邊長是方程 x210x+21=0的根 , 則三角形的周長為 . 答案 16 解 析 ∵ x210x+21=(x3)(x7)=0, ∴ x1=3,x2=7, ∵ 3+3=6,∴ 3不能作為該三角形的第三邊長 , ∴ 三角形的第三邊長為 7, ∴ 三角形的周長為 3+6+7=16. 6.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=60176。39176?！?FBC∠ FCB=180176。,∠ FCB=? ∠ ACB=39176。=78176。60176。 答案 C 在△ ABC中 ,∠ ACB=180176。 176。,則 ∠ BFC=? ( ) ? 176。若 a2+b2c2,則三角形為鈍角三角形 . ∵ 32+4262,∴ 長為 3,4,6的三條線段可組成鈍角三角形 ,故選 C. 4.(2022四川綿陽 ,5,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ B、 ∠ C的平分線 BE、 CD相交于點 F,∠ ABC=42176。,故選 C. 3.(2022江蘇南京 ,4,2分 )下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是 ? ( ) ,4,4 ,4,5 ,4,6 ,4,7 答案 C 由三角形的三邊關系知 A,B,C能構成三角形 ,D不能構成三角形 . 設一個三角形的三邊長分別為 a,b,c,且 abc,若 a2+b2=c2,則三角形為直角三角形 。 答案 C 由作圖知 BA=BD,∴∠ BAD=∠ BDA=70176。 176。,則 ∠ DAC的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。.故選 D . 2.(2022吉林 ,5,2分 )如圖 ,在△ ABC中 ,以點 B為圓心 ,以 BA長為半徑畫弧交邊 BC于點 D,連接 AD. 若 ∠ B=40176。35176。, AD=AE,∴∠ AED=∠ ADE=45176。,∴∠ C=35176。 答案 D ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵∠ B=180176。 176。,則 ∠ EDC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。, ∴∠ 1=∠ 3,∵ OM=ON, ∴ △ OEM≌ △ OFN,∴ OE=OF, ∴ 點 O在 ∠ BCD的平分線上 , 若點 O在 ∠ BCD的平分線上 ,類似于 (2)的證明可得 OM=ON,∴ 點 O在正方形內(nèi) (含邊界 )移動過 程中形成的圖形是線段 AC. ? (4)O在移動過程中所形成的圖形為直線 AC. B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 三角形的相關概念 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,△ ADE的頂點 D,E分別在 BC,AC上 ,且 ∠ DAE=90176。, ∴∠ 2+∠ 3=90176。, ∴∠ 1=∠ 3,∴ △ OEM≌ △ OFN,∴ OM=ON. ? (3)如圖 ,過 O作 OE⊥ BC于 E,OF⊥ CD于 F, ∴∠ OEM=∠ OFN=90176。, ∴∠ 2+∠ 3=90176。 (4)圖 4是點 O在正方形外部的一種情況 . 當 OM=ON時 ,請你就“點 O的位置在各種情況下 (含外部 )移動所形成的圖形”提出一個正確 的結論 (不必說明理由 ). 解析 (1)OM=ON. (2)OM=ON仍然成立 . 如圖 ,過 O作 OE⊥ BC于 E,OF⊥ CD于 F, ∴∠ OEM=∠ OFN=90176。 (2)如圖 2,若點 O在正方形的中心 (即兩對角線交點 ),則 (1)中的結論是否仍然成立 ?請說明理由 。, ∴ △ HPD為等腰直角三角形 , ∴∠ DHP=∠ PDF=45176。, ∴∠ GPH=∠ FPD, ∵ DE平分 ∠ ADC,∠ ADC=90176。 (2)如圖 2,若點 F在 CD的延長線上 (不與 D重合 ),過點 P作 PG⊥ PF,交射線 DA于點 G,你認為②中 DF、 DG、 DP之間的數(shù)量關系是否仍然成立 ?若成立 ,給出證明 。后 ,角的兩邊 PD、 PF分 別交射線 DA于點 H、 G. ① 求證 :PG=PF。,點 E在 AB上 .求證 :△ CDA≌ △ CEB. ? 證明 ∵ △ ABC、△ CDE均為等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ DCE=90176。,∴∠ AQP+∠ ABQ=90176。,∴∠ BPD+∠ PBD=90176。,DE=FC, ∴ Rt△ ADE≌ Rt△ EFC(SAS),∴ EF=AD=5. 12127.(2022福建 ,18,8分 )如圖 ,點 B,E,C,F在一條直線上 ,AB=DE,AC=DF,BE= :∠ A=∠ D. ? 證明 ∵ BE=CF,∴ BE+EC=CF+EC,即 BC=EF. 在△ ABC和△ DEF中 ,? ∴ △ ABC≌ △ DEF,∴∠ A=∠ D. ,A B D EA