最值不等式題的求解通法(參考版)
2025-06-10 19:59本頁(yè)面
【正文】 設(shè)其面積為，注意到三角形面積的海倫秦九韶公式，當(dāng)中，.變形，得：.于是，所要證明的不等式（2）等價(jià)于：. （*）這個(gè)不等式的證明是很容易的，事實(shí)上，由三角形面積公式與正弦函數(shù)的有界性，得：容易得出，所證不等式中的等號(hào)成立的充要條件是：．綜合以上，便知不等式（2）得證．從不等式（2）出發(fā)，容易得到如下的問(wèn)題53：已知為正實(shí)數(shù)，并記，求證：． （3）思考6江西宋慶《中等數(shù)學(xué)》08年3期里，提出的問(wèn)題是：?jiǎn)栴}61：已知是滿足的正數(shù)，求證： （1）通過(guò)思考與探究，建立不等式（1）的一個(gè)有趣的類似：?jiǎn)栴}62：已知是滿足的正數(shù)，求證： （2）證明：因?yàn)樗砸C不等式（2），只要證明如下不不等式 （*）令則正數(shù)，于是不等式（*）等價(jià)于，也就是，即：，注意到，并應(yīng)用3元均值不等式，得故 得證．思考7 2004年美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題：?jiǎn)栴}71：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均有 通過(guò)思考，給出了一個(gè)類似的題目：?jiǎn)栴}72：設(shè)，求證：. 證明：因?yàn)樗裕海?，再得二式，三式疊乘，得 ．于是，只要證明如下不等式就行了．事實(shí)上，由均值不等式，得． (*)由柯西不等式，得即：． (**)于是，由不等式（*）和（**），便得 得證．思考8 2002年越南競(jìng)賽試題：?jiǎn)栴}81：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求證：見(jiàn)到的是三角換元證法，這里提供一種直接的代數(shù)證法．證明：不妨設(shè)則有 由柯西不等式，得設(shè)，則. 于是，只要證明：事實(shí)上 容易推出，所證不等式取得等號(hào)的條件是：為．經(jīng)過(guò)深入思考，可以類似證明該不等式的一個(gè)深化：?jiǎn)栴}82：設(shè)是實(shí)數(shù)，且滿足，求證：
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