【正文】 蔡氏電路、洛倫茨方程混沌電路是三階自治微分電路，只有一個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，“超混沌”電路有一個(gè)以上的李雅普諾夫指數(shù)?，F(xiàn)在又出現(xiàn)了許多混沌電路，數(shù)量多，例如由運(yùn)算放大器產(chǎn)生的混沌電路，利用微機(jī)技術(shù)（如單片機(jī)技術(shù)）、DSP技術(shù)產(chǎn)生混沌電路等。有用的混沌電路都是精心設(shè)計(jì)的電路，如蔡氏電路等。 α繼續(xù)減少時(shí)， 2個(gè)單圈變成 2個(gè)模糊的 2圈，表示一種混沌運(yùn)動(dòng)，之后是 2個(gè)清晰的 2圈，表示周期運(yùn)動(dòng)； 再之后是 2個(gè)模糊的 3圈，2個(gè)清晰的 3圈，這樣混沌、周期地交替變化。圖中由左至右表示 α從最大值 0依次減少時(shí)的軌道演變過(guò)程。函數(shù)式 f(y,z)是唯一非線性項(xiàng) 。一個(gè)具體的運(yùn)算放大器混沌電路如圖 417所示，它是由反相加法器、反相積分器、比例放大器等線性運(yùn)算單元構(gòu)成的一個(gè)三階非線性自治電路。 下面舉例介紹幾個(gè)能夠產(chǎn)生非線性特性的電子電路系統(tǒng)。表中的改進(jìn)電路主要是對(duì)于基本電路的阻抗的改進(jìn)。這些非線性單元電路有的是一個(gè)單一電子元件，如二極管 。線性基本單元電路有的僅是一個(gè)單一線性電路元件，如電阻器、點(diǎn)容器、電感器等，有的是一個(gè)線性單元電路，如工作在線性放大區(qū)的反向比例放大器、反向加法器、減法器、同向放大器、反向微分器、反向積分器等，如圖 416所示。如果說(shuō)前面幾節(jié)講述的著名非線性電路是著名科學(xué)家在特定領(lǐng)域內(nèi)創(chuàng)造的奇跡，那么，本節(jié)敘述的就是廣大的電子工作者各顯神通壯闊場(chǎng)面。因而，用電子電路設(shè)計(jì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)是很容易的，稍微使用一些電路技巧就可以設(shè)計(jì)出很多很靈活的非線性電路系統(tǒng)。 4普通混沌電路 一、研究普通混沌電路的背景與意義 前面討論過(guò)的各種各樣的混沌電路以及所依據(jù)的非線性方程，由于歷史的原因或者其它原因，從電子電路設(shè)計(jì)的角度來(lái)看，總是帶有“特殊性”的“手工工藝品”，使得這些非線性電路設(shè)計(jì)不很流暢。=2 (h) 181。= (f) 181。=0 (d) 181。= (b) 181。值 0，顯示出清晰的極限環(huán)。 程序運(yùn)行結(jié)果如圖 414所示，圖中 181。編寫(xiě)程序的思想是，在預(yù)測(cè)的極限環(huán)內(nèi)外分別選擇一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)作為初始條件，現(xiàn)選 (,)、 (,3)，分別從這兩個(gè)初始點(diǎn)上迭代，為了提高運(yùn)算精度，算法使用四階龍格 庫(kù)塔算法。 圖 413 范德坡方程極限環(huán)整體刻畫(huà) 由上面分析可知，傳統(tǒng) LC振蕩電路中輸出的波形嚴(yán)格說(shuō)來(lái)不是正弦波，頻率也不很穩(wěn)定，為了使 LC振蕩輸出正弦波不失真與幅度穩(wěn)定，需要對(duì)圖 412（ a）的放大電路加入交流負(fù)反饋或者采取其它穩(wěn)幅措施，為了穩(wěn)定正弦波頻率，需要增加諧振回路 Q值或者使用晶體振蕩器 .從范德坡方程來(lái)看，就是使其相圖更接近圓形。0，若 |x|1，呈現(xiàn)負(fù)電阻特性，電路系統(tǒng)發(fā)散 。等幅振蕩的相圖圖形是一個(gè)封閉的環(huán)形，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為極限環(huán)，動(dòng)力學(xué)中稱(chēng)為吸引子，是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，無(wú)混沌。 反之，若 |x|1，則，電路系統(tǒng)呈現(xiàn)負(fù)電阻特性， LC電路系統(tǒng)增加能量為增幅振蕩。對(duì)照范德坡方程，當(dāng) 181。 三是憑經(jīng)驗(yàn)使用對(duì)比的方法求出它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，下面先使用對(duì)比的方法求出它的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。 二、范德坡方程定性討論 對(duì)于范德坡方程，它的積分曲線可以使用三種標(biāo)準(zhǔn)方法求得，一是嚴(yán)格意義下的純數(shù)學(xué)分析方法，找出其運(yùn)動(dòng)形態(tài) 。范德坡方程有一個(gè)變形形式 )49a r c t a n5s i n ()4541(32 ??????? tAxxxxx ??? 與人的心臟跳動(dòng)的波形接近，可以作為心臟搏動(dòng)的模型，心電圖由 P、 Q、 R、 S和 T五個(gè)波段組成，心跳是一種張弛振蕩，心律不齊是包括健康人在內(nèi)的常見(jiàn)狀態(tài)，嚴(yán)重心律不齊則是心臟疾病，用數(shù)學(xué)方法或者電路方法模擬心律不齊并分析其規(guī)律性涉及生命科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。 Cr(a) LC振蕩電路CECBECB RC(d) 廣義電阻畫(huà)法RLLL+_uC(b) 交流等效電路ECB L0(j) 去掉直流分量的特性曲線ruoi=f(uo)i(c) 交流等效電路iLib1ibQib20(f) 三極管ubeib關(guān)系曲線Qubeib=f(ube)VccQuceQubeQ0uceube=f(uce)Q0ubeicube1 ubeQ ube2(h) ubeic關(guān)系曲線(e) uceube關(guān)系曲線0(g) 三極管ibic關(guān)系曲線Qibic=f(ib)ic1icQic2ib1 ibQ ib2ube1 ubeQ ube2ic1icQic2QucQVcc/RicQ0uceic=f(uce)(i) uceic關(guān)系曲線VccQucQVcc/RicQ0uceic=f(uce)對(duì)比圖線性u(píng)ceic關(guān)系曲線Vcc圖 412 范德坡電路廣義電阻推導(dǎo)用圖 圖 412(i)中的特性曲線描繪的是本電路中 RC諧振時(shí)，或者說(shuō)是集電極負(fù)載是純電阻時(shí)的晶體管集電極電壓 集電極電流關(guān)系曲線，用三次項(xiàng)表示，這一特性曲線可以用如下公式表達(dá)： 331 )(31)()( cQcecQcecQcec uuguugiufi ??????移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)去掉直流項(xiàng)，如圖 (j)所示，上式去掉下標(biāo)，表達(dá)式成為 331 31 ugugf ( u )i ????且有 g10， g30 由圖 412（ j）建立電路狀態(tài)方程比較方便 ???????????udtdiLiGuufdtduCLL)(41 42 43 將 322代入， 將 42代入， 擬將 44式改寫(xiě)成無(wú)量綱的數(shù)學(xué)方程，作如下變換 ????????????udtdiLuguGgidtduCLL331 31)( 44 ???????????????????0)()(1132131GgLCLCtiGggCLxuGggxL?t得到下面的范德坡方程 45 ??????????1231121 )3(xxxxxx?? ? 46 消取 x2，容易將上式改寫(xiě)成 0)1( 2 ???? xxxx ??? ? 47 范德坡發(fā)現(xiàn)，當(dāng) μ值變大時(shí)，振蕩波形變成方波，范德坡稱(chēng)之為張弛振蕩，它對(duì)于某些強(qiáng)迫頻率特別敏感，可以不需共振而鎖定在強(qiáng)迫頻率上，從而能夠產(chǎn)生混沌。這就是最終的廣義電阻特性曲線，請(qǐng)與右上角的線性電路比較。結(jié)合圖 (f)與圖 (g)，得到圖 (h)基極電壓 集電極電流關(guān)系曲線，整個(gè)曲線呈現(xiàn)“ S”型，如圖 (h)所示。三極管的基極電壓 基極電流關(guān)系曲線，如圖 (f)所示，其中 ube1是發(fā)射結(jié)導(dǎo)通電壓，對(duì)于硅材料約 。將三極管等效為電阻 RNL如圖 (d)。圖 412(a)是一個(gè)簡(jiǎn)單 LC振蕩器電路，等效交流電路如圖 (b)，圖 (b)中的電壓源是變壓器耦合電壓，來(lái)自電感的耦合電壓。 電子電路中的振蕩電路是耗散結(jié)構(gòu)，它從直流電壓源中獲得電的能量，以儲(chǔ)能元件電容與電感進(jìn)行電場(chǎng)能與磁場(chǎng)能兩種形式的電能量之間的交換，又通過(guò)其中的電阻將電能轉(zhuǎn)換成非電能的熱能。 RLC的電壓電流關(guān)系容易導(dǎo)出所需微分方程，只要考慮到電子管電路的非線性，就能得到范德坡非線性微分電路方