多元函數(shù)微分學ppt課件(參考版)
2025-05-06 22:04本頁面
【正文】 67 練習： P83 習題 1. 。 },{),(g r ad zyx fffkzfjyfixfzyxf ????????????????例 8 解 },{g r a dzyx ffff ???? ，}2,2,{22 yzzxyy ??.}2,3,1{)1,1,2(g r a d ????f所以 f 在梯度方向的方向?qū)?shù)為 .14)2()3(1|)1,1,2(g r a d| 222 ???????f這是 ),( zyxf 在點 )1,1,2(0 ?P 處的最大的方向?qū)?shù)。146?PP yxzyyu22 868???? 。 56 求導數(shù) xzzyyxzyxf 222),( ??? 在點 )1,1,1( 處沿方向 kjil??????? 2 的方向?qū)?shù)。 （ 2 ）當 45 ?? ? 時， 方向?qū)?shù)達到最小值 2? 。 解 將 l?單位 化 ， 得 jil???54530 ?? ， 例 1 所求方向?qū)?shù) ?? s i nc os yfxflf ????????,363 22 yxyxxf ????? ,12)1,3(???xf,63 2 xyxyf ????? ,9)1,3(????yf.054)9(5312)1,3(????????lf51 ?? s i nc os yfxflf ????????求函數(shù) yxz 2e? 在點 )0,1(P 處沿從點 )0,1(P 到點)1,2( ?Q 的方向的方向?qū)?shù) . 解 。 若每個單位勞力需 600 元，每單位資本為 2 0 0 0 元，而勞力和資本投入的總預算為 40 萬元，試求最佳資金投入分配方案。 現(xiàn)要使用廣告費 25 萬元，問應(yīng)如何選擇兩種廣告形式，才能使廣告產(chǎn)生的利潤最大？最大利潤是多少？ 例 10 解 目標函數(shù) 25)1010 0520 0(51),( ????? yyxxyxf ， 約束條件 25?? yx , 作拉格朗日函數(shù) ,)25(25)101005200(51),( ???????? yxyyxxyxF ??41 ,)25(25)101005200(51),( ???????? yxyyxxyxF ??求 ),( ?yxF 關(guān)于 ?, yx 的一階偏導數(shù)，并令其等于零得 0)5(2002 ??? ?x ， 0)10(2002 ??? ?y ， 25?? yx ， 解 得 10,15 ?? yx 。,( zyxhzyxgzyxfzyxF ???? ???令 ,0),(0),(0),(),(),(0),(),(),(0),(),(),(?????????????????????????????zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx??????解出 zyx , ， 就是可能的極值點的坐標 . 34 例 7 用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱 ,要求容積為 V,問怎么做用料最省？ 目標函數(shù)： )(2 zxyzxyS ??? , 約束條件： xy zV ? , 解 構(gòu)作拉格朗日函數(shù) )()(2 Vx y zzxyzxyF ????? ? , 令 ???????????????????????Vx y zxyyxFxzzxFyzzyFzyx0)(20)(20)(2???, 解得唯一駐點 3 Vzyx ??? , 由實際問題 ,即為最小值點 . 設(shè)水箱的長、寬、高分別為 zyx , , 則 x y z 35 在周長為 p2 的一切三角形中 , 求出面積最大的三角形 . 設(shè)三角形的三條邊長分別為 zyx , , 則面積為 ))()(( zpypxppS ???? , 約束條件 : pzyx 2??? , 目標函數(shù)取為： ))()((),( zpypxpzyxf ???? , 令 ???????????????????????????????pzyxypxpFzpxpFzpypFzyx20))((0))((0))((???, 例 8 解 ，)2())()(( pzyxzpypxpF ???????? ?解得唯一駐點 ，pzyx 32???即 做成 正三角形時面積最大 . ，pzyx ?? ,036 用一根長為 p2 的鐵絲做一個網(wǎng)兜邊框： 三角形中 ,以正三角形面積為最大 ： 22 3 pp ?四邊形中 ,以正方形面積為最大： 22 41 pp ?五邊形 (正 )： 22 275 251 pp ??222 3 1 8 ??? ??圓： 最大 37 平面 0??? zyx 截橢球面 124222??? zyx 得一橢圓截線 , 求此橢圓的半軸長 . 在約束條件 0??? zyx 及 442 222 ??? zyx 例 9 解 此橢圓的中心顯然是坐標原點 ,因此問題即求 2222 zyxr ???下的最大值和最小值 . 作拉格朗日函數(shù) 222),( zyxzyxL ???)(2)442( 222 zyxzyx ??????? ??38 ???????????????????????????( 5 ) 0( 4 ) 442( 3 ) 042/( 2 ) 022/( 1 ) 02/222zyxzyxzzLyyLxxLzyx??????zyx ????? )3()2()1( ? 042 ?? ?r , ????? 1x , ??21 ???y , ??41 ???z , 代入 )5( , 222),( zyxzyxL ???)(2)442( 222 zyxzyx ??????? ??由 39 0?? , ? 041 121 11 1 ?????? ??? , ? ??????????7227222最小最大r , 所以 長半軸 722 ?, ，031414 2 ???? ??，72121 2,1 ???? ?，?42 ??r短半軸722 ? . 40 某公司
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