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多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(1)(參考版)

2025-05-19 10:10本頁面
  

【正文】 當(dāng) Δy是曲線的縱坐標(biāo) dy就是 切線 縱坐標(biāo) ?xyO)( xfy ?T0xM?xx Δ0 ?N?PQy? ydx?幾何意義 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 34 ))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????因?yàn)榍嬖?M處的切平面方程 : 全微分的幾何意義 表示 平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 . 切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 曲面 z = f (x, y)在點(diǎn) (x0, y0, z0)處的切 z = f (x, y)在點(diǎn) (x0, y0)的全微分 , 切平面 曲面 z = f (x, y) 0 P ),( 00 yyxx ????),( 00 yxx ??),( 000 yxM),( 00 yyx ??z?zd函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn) (x0, y0)的全微分 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 35 ),( 00 yxff xx ?),( 00 yxff yy ?其中 ,1c o s 22yxxfff????? ,1c o s 22yxyfff?????.11c o s22yx ff ????或)1,( ?? yx ff法向量 ??? ,若 表示曲面的法向量的方向角 , 并假定 法向量的方向是向上 的 , 即使得它與 z 軸的正向所成的角 ? 是 銳角 , 則法向量的 方向余弦為 n? )1,( yx ffn ???? 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 36 求旋轉(zhuǎn)拋物面 122 ??? yxz因?yàn)? (第三個(gè)分量為負(fù) ), 解 ,1),( 22 ??? yxyxf 而 Pyx ff )1,( ? )1,2,2( ?? yx).1,2,2( yx ??為 向下 的法向量 故 向上 的法向量應(yīng)為 : 在任意點(diǎn) 在任意點(diǎn) P(x, y, z)處 向上 的法向量 (即與 z軸夾角為 銳角的法向量 ). 或)1,( ?? yx ffn?法向量 )1,( yx ffn ????的),( yxfz ? 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 37 研究生考題 ,填空 ,3分 軸旋轉(zhuǎn)一周得到繞由曲線 yzyx??????01223 22)2,3,0(解 12233 222 ??? yzx令 12323),( 222 ???? zyxzyxF)2,3,0(),( zyx FFF?)26,34,0(? ).3,2,0(51?)2,3,0()6,4,6( zyx?)3,2,0(51n||0nnn ?的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn) 處的指向外側(cè)的單位 法向量為 ( ). 旋轉(zhuǎn)面方程為 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 38 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線 三、小結(jié) 注意 : 向量的方向余弦的 符號 . 當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí) , 采用 推導(dǎo)法 、 向量代數(shù)法 或用 雙切面法 . 求法平面可 空間曲面三種不同形式方程以及求法 . 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 39 思考題 ),N(),(),( ?? kzyxFttztytxF k設(shè)于一定點(diǎn)上任一點(diǎn)的切平面相交 (0),( ?zyxF).0222 ??? zyx FFF在任意點(diǎn)處思考題解答 證 ),(),( zyxFttztytxF k?將 兩邊對 t求導(dǎo) , ),(1 zyxFktzFyFxF kwvu ????u v w,1?t令得 ),( zyxkFzFyFxF zyx ???設(shè) F(x, y, z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 且對任意實(shí)數(shù) t 有 試證曲面 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 40 設(shè) (x0, y0, z0)是曲面上任一點(diǎn) , 則過這點(diǎn)的 切平面為 0))(,())(,())(,(000000000000??????zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxzyxzyx FzFyFxzFyFxF 000 ?????),( 000 zyxkF??0?這說明曲面上任一點(diǎn)的切平面皆相交于原點(diǎn) . ),( zyxkFzFyFxF zyx ???0 0 0 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 41 作業(yè) 習(xí)題 (348頁 ) 。4令 ?0PxG ?02 Px ,2 ?0PyG ?02 Py ,32 ?0PzG ?? 02 Pz ,4? 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 12 0)()()( 000000?????? zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy代入公式 , 得法平面方程 法平面方程公式 : .0633 ??? yx 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 13 切線方程 ?? 1x33dd0??Pxy? 0dd0?Pxz 解 將所給方程的兩邊對 x求導(dǎo) , 得 法平面方程 0)2(0)3(3 3)1(1 ???????? zyx.0633 ??? yx?????3?y 2?? z133? 0的在點(diǎn)求曲線 )2,3,1(8 0222222Pzyxzyx????????例 切線方程和法平面方程 . 推導(dǎo)法 )()(1 00000xz
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