【正文】 求 的各個一階偏導數(shù)，并令其等于零　　　　0 , 1 . 5 ,xy??解得 即廣告費全部用于報紙廣告時利潤最大calculus )1,1,1()(),(1dfyxzyxf z 求?dydxdfzyxyxzfyxyxzyfyyxzxfzzz????????????????)1,1,1()1(ln)()()(11)(12121111練習講解 calculus 且 存在一階連續(xù)偏導數(shù)，求 設 ? ?,u f x x y x y z? f,uuux y z???? ? ?x m nu f y f y zfx? ? ? ?? ? ??mnu x f x z fy? ?????nu xyfz? ???xuxymnz解： ,m x y n x y z??設 xfxnnuxmmuxu?????????????????ynnuymmuyu??????????????znnuzu????????。39。0 . 7 51 . 2 5即在廣告費不限時最優(yōu)策略是：電臺廣告費萬元，報紙廣告費 萬元。39。39。39。39。22( , ) 1 5 1 4 3 2 8 2 1 0R x y x y x y x y? ? ? ? ? ?( 1 )( 2 ) 1 5 0 0 0求： 在廣告費不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略　　總廣告費為 元時的最優(yōu)廣告策略。0 . 0 6 , 0 . 0 1 , 0 . 0 6x x x y y yA f B f C f? ? ? ? ? ? ? ? ?24 3 5 1 0 0 0B A C A?? ? ? ? ? ? ? ?而 　　且1 2 0 8 0 ( 1 2 0 , 8 0 ) 3 2 0x y L? ? ?所以，當 ， 時， 是最大值，由題意知生產(chǎn)1 2 0 件產(chǎn)品I ，8 0 件產(chǎn)品I I 時利潤最大 228 6 0 .0 1 ( 3 3 ) 4 0 0x y x x y y? ? ? ? ? ?calculus 2, , ,2 4 0 .2 1 0 0 .0 53 5 4 0 ( )PPQ P Q PC Q Q? ? ? ?? ? ?1 2 1 21 1 2 212例 ：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品同時在兩個商店銷售，銷售量分別為Q Q 售價分別為 ；需求函數(shù)分別為　　　　總成本函數(shù)為問工廠如何確定兩商店的售價，才能使獲得的總利潤最大？最大的利潤是多少？12R P Q P Q?? 12　　　　解：總收入函數(shù)為221 1 2 22 4 0 . 2 1 0 0 . 0 5P P P P? ? ? ?221 1 2 2:3 2 0 . 2 1 2 0 . 0 5 1 3 9 5L R C P P P P? ? ? ? ? ? ?總利潤函數(shù)為calculus 112232 0. 4 012 0. 1 0LPPLPP??? ? ???????? ? ?? ??利用極值存在的必要條件，得方程組1280 12 0PP??解得 ，12 8 0 1 2 0605PPL???由問題的實際意義知，當 ， 時，工廠獲得的總利潤最大，最大利潤為　　　　　　　calculus 3()( ) ( )Rxy例 ：某公司可通過電臺和報紙兩種方式為銷售商品做廣告。 39。 39。( , ) 8 0 . 0 1 ( 6 ) 0( , ) 6 0 . 0 1 ( 6 ) 0xyL x y x yL x y y x? ? ? ? ???? ? ? ???由得駐點（1 2 0 ，8 0 ）再由 39。因為總利潤等于總收入減去總費用，所以22( , ) ( 10 9 ) [ 40 0 2 3 0. 01 ( 3 3 ) ]L x y x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ? ?228 6 0 .0 1 ( 3 3 ) 4 0 0x y x x y y? ? ? ? ? ?calculus 39。 (1). 構造拉格朗日函數(shù) : ( 為常數(shù) ) (2). 聯(lián)立 解得 ),( zyxfw ? 0),( ?zyxg),( ),(),( zyxgzyxfzyxL ?? ?? ?????????????????????????????0),(000zyxgLgfLgfLgfLzzzyyyxxx?????, zyxcalculus aabb cxyz，屋頂造價 造價 ，不臨街的墻面造價 2/米元b 2/米元c在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面 2/米元a設房屋容積為 3米v例 2. ，問：長、寬、高各多少 時造價最低 . 再解例 在條件 下的極值 .令 , cxyzyxbazyxfw ????? ))((),(0?? xyzv)( ))((),( x y zvc x yzyxbazyxL ?????? ??聯(lián)立 , ?????????????????????????????00 ))((0 )(0 )(xyzvLxyyxbaLxzcxzbaLyzcyzbaLzyx????解得 , ,)(3 c bavyx ??? 3 22)( bavcz??calculus 167。 拉格郎日乘數(shù)法： (1). 構造拉格朗日函數(shù) : (2). 聯(lián)立 解得 則點 可能為極值點 . (3). 再討論 . (根據(jù)實際問題的實際意義可以判斷 .) ),( yxfz ? 0),( ?yxg),( ),(),( yxgyxfyxL ?? ?? ?( 為常數(shù) ) ????????????????????0),(00yxgLgfLgfLyyyxxx????, yx),( yxcalculus 求函數(shù) 在條件 下的極值。 設函數(shù) （ 2）駐點 （ 3）偏導數(shù)不存在的點 根據(jù)實際問題知函數(shù)的最值只在內(nèi)部點上取到，且只有唯一駐點 (極值點 )， 沒有偏導數(shù)不存在的點，則此時可斷定函數(shù)在此駐點上取到最值 ),( yxfz ? Dcalculus 例 2. 在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面 ，不臨街的墻面造價 2/米元b ，屋頂造價 2/米元c設房屋容積為 3米v ，問：長、寬、高各多少 時造價最低 . aabb cxyz解 :設長、寬、高分別為 則 造價 造價 2/米元a, zyx,xyzv ? ,xyvz ?)0,0(,)11()( ?????? yxcxyyxvbacxyxyvyxba ???? ))((cxy?)( yxbz ??)( yxaz ??wcalculus 解得 答：當長、寬均為 ，高為 時， 造價最低。0 0 0 0 0 02 ( ) : ( , , )( , , ),( , , ) 0 ( , , ) 0x y zzF x y zx y zF F FF x y z F x y z??定 理 隱 函 數(shù) 存 在 定 理 設 函 數(shù) 滿 足 下 列條 件（ 1 ） 在 點 的 某 一 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) ， 且 具 有 連 續(xù)的 偏 導 數(shù)（ 2 ） ，000 0 0( , , ) 0 ( , )( , ) , ( , )F x y z x yz f x y z f x y???則方程 唯一地確定一個定義在的某一鄰域內(nèi)的單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù) 它滿足條件 ，并有zyzxFFyzFFxz???????????? ,calculus ),(0),( yxfzzyxF ??方程兩邊對 求偏導 x0?????? xzx zFFzxx FFz?????zyy FFz ?????同理 calculus 例 1. 設 04222 ???? zzyx ,求 解 法 1 法 2 兩邊關于 x求導 兩邊關于 y求導 yzxz???? ,42 ??? zF z, 2 , yF y ??xz??xFx 2??zxFF????zzyxzyxF 4),( 222 ????zx?? 2 yz?? ,zyFF???? .2 zy??0422 ????? xx zzzx0422 ????? yy zzzycalculus 方法三 :方程兩邊求微分 dyzydxzxdz ???? 220)4( 222 ???? zzyxd04222 ???? dzz dzy dyx dxcalculus 例 3. 設 , 求 解 0?? xyze zyxz???2xy ze z ??),( zyxFxyeyzz ??xyeyzz ????zxFF????xz??xyexzz ??zyFF????yz??3222)()(xyeyxx y z eezzzz????)( xye yzy z ????2)()())((xyexyzeyzxyeyzyzzzz??????????)( xzy ?????yx z???2calculus 例 4 設 有連續(xù)偏導數(shù)， ( , , )u f x y z? ( ) , ( )y y x z z x??分別由方程 00xy due y x z dx? ? ? ?z和e 所確定, 求解 du f f dy f dzdx x y dx z dx? ? ?? ? ?? ? ?又由 兩邊對 求導得 0xyey?? x2( ) 0()11xyxyxyxydy dye y xdx dxdy y e yeydx x e x y? ? ??? ? ???calculus 0()zzzd z d ze z xd x d xd z z ze x zd x e x x z x? ? ?? ? ???所以 21d u f y f z fd x x x y y x z x z? ? ?? ? ?? ? ? ? ?又由 兩邊對 求導得 0ze x z??xcalculus 167。 39。 多元函數(shù)的全微分 一、 全微分的定義與計算 設函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 某鄰域內(nèi)有定義， 分別給 yx, 一增量 , yx ?? 函數(shù)相應的全增量 ),(),(( yxfyyxxfz ???????若全增量可表示為 : ),( ?oyBxAz ??????其中 BA, 僅與 yx, 有關，與 yx ?? , 無關， ,)()( 22 yx ?????則稱函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 處可微 . 定義 1